[GDOI模拟2015.12.19][HEOI2013]ALO

题目大意

对于数列$a_{1..n}(\forall i\not=j,a_i\not=a_j)$，找到一段区间$[l,r](l<r)$，设区间次大值为$mx2$，最大化$max\{m2\oplus a_i|i\in[l,r]\}$。
$1\le n\le 50000,0\le a_i\le 10^9$

---

题目分析

对于这类题目，一个很通用的思路就是枚举次大值是哪个数，然后求出合法的最大区间，再进行求解。
首先我们讨论如何找出合法区间。
显然要使$a_i$为区间次大值，那区间内只能有一个比它大的。我们求出$a_i$左边比$a_i$大的最右边的数$l1$，次右边的数$l2$；同理，在右边找出比$a_i$大的最左边的数$r1$，次左边的数$r2$。显然答案区间为$(l2,r1)$或$(l1,r2)$。找出这些位置可以用二分加$RMQ$解决，这里不再累赘。
然后问题转化为给定一个区间，求区间内的数与给定值异或的最大值，显然，如果我们将区间所有数二进制存入$Trie$中，每次贪心地选择与定值对应位相反的方向走，问题就可以迎刃而解。
但是怎么求给定区间的$Trie$呢，我们发现这个满足区间减法，直接用可持续化$Trie$解决即可。

---

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

const int D=30;
const int N=50000;
const int S=N*(D+1);
const int LGN=15;

bool buf[D];

struct TRIE
{
    int branch[S+1][2];
    int root[N+1];
    int sum[S+1];
    int tot;

    int newnode()
    {
        ++tot;
        branch[tot][0]=branch[tot][1]=sum[tot]=0;
        return tot;
    }

    void insert(int rt1,int &rt2,int x)
    {
        rt2=newnode();
        branch[rt2][0]=branch[rt1][0],branch[rt2][1]=branch[rt1][1],sum[rt2]=sum[rt1]+1;
        if (x==-1)
            return;
        insert(branch[rt1][buf[x]],branch[rt2][buf[x]],x-1);
    }

    int query(int rt1,int rt2,int x)
    {
        if (x==-1)
            if (sum[branch[rt2][1^buf[x]]]-sum[branch[rt1][1^buf[x]]])
                return 1;
            else
                return 0;
        if (sum[branch[rt2][1^buf[x]]]-sum[branch[rt1][1^buf[x]]])
            return (1<<x)+query(branch[rt1][1^buf[x]],branch[rt2][1^buf[x]],x-1);
        else
            return query(branch[rt1][buf[x]],branch[rt2][buf[x]],x-1);
    }
}t;

int a[N+1];
int n,ans;

struct RMQ
{
    int num[N+1][LGN+1];
    int lgn;

    void preparation()
    {
        lgn=(int)floor(log(n)/log(2));
        for (int i=1;i<=n;i++)
            num[i][0]=a[i];
        for (int j=1;j<=lgn;j++)
            for (int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
                if (num[i][j-1]>num[i+(1<<j-1)][j-1])
                    num[i][j]=num[i][j-1];
                else
                    num[i][j]=num[i+(1<<j-1)][j-1];
    }

    int query(int l,int r)
    {
        int lgrg=(int)floor(log(r-l+1)/log(2));
        if (num[l][lgrg]>num[r-(1<<lgrg)+1][lgrg])
            return num[l][lgrg];
        else
            return num[r-(1<<lgrg)+1][lgrg];
    }
}rmq;

int search_left(int ed,int x)
{
    int ret=-1,l=1,r=ed,mid;
    while (l<=r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if (rmq.query(mid,ed)>x)
        {
            ret=mid;
            l=mid+1;
        }
        else
            r=mid-1;
    }
    return ret;
}

int search_right(int ed,int x)
{
    int ret=-1,l=ed,r=n,mid;
    while (l<=r)
    {
        mid=l+r>>1;
        if (rmq.query(ed,mid)>x)
        {
            ret=mid;
            r=mid-1;
        }
        else
            l=mid+1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    freopen("alo.in","r",stdin);
    freopen("alo.out","w",stdout);
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    rmq.preparation();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=0;j<D;j++)
            buf[j]=(a[i]>>j)&1;
        t.insert(t.root[i-1],t.root[i],D-1);
    }
    ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l1,l2,r1,r2;
        l1=search_left(i-1,a[i]);
        if (l1!=-1)
        {
            l2=search_left(l1-1,a[i]);
            if (l2==-1)
                l2=0;
        }
        else
            l1=0;
        r1=search_right(i+1,a[i]);
        if (r1!=-1)
        {
            r2=search_right(r1+1,a[i]);
            if (r2==-1)
                r2=n+1;
        }
        else
            r1=n+1;
        for (int j=0;j<D;j++)
            buf[j]=(a[i]>>j)&1;
        if (l1)
            ans=max(ans,t.query(t.root[l2],t.root[r1-1],D-1));
        if (r1!=n+1)
            ans=max(ans,t.query(t.root[l1],t.root[r2-1],D-1));
    }
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}