N皇后问题解法（回溯算法）

N皇后问题解法（回溯算法）

这段代码使用深度优先搜索（DFS）和回溯算法来解决经典的N皇后问题。下面是对代码的详细解析：

问题描述

在n×n的棋盘上放置n个皇后，使得它们互不攻击（即不在同一行、同一列或同一对角线上）。

代码解析

全局变量

const int N = 10;
bool col[N], dg[2*N], ndg[2*N]; // 标记数组
int n;                          // 棋盘大小
char g[N][N];                   // 棋盘表示

• col[i]: 标记第i列是否有皇后
• dg[r-i+n]: 标记左上到右下的对角线（主对角线方向）
• ndg[r+i]: 标记左下到右上的对角线（副对角线方向）
• g[N][N]: 二维字符数组表示棋盘，‘Q’表示皇后，’.'表示空位

DFS函数

void dfs(int r)  // r表示当前处理的行
{
    if(r == n)   // 找到一个解
    {
        // 打印棋盘
        for(int i = 0; i < n; i++) cout << g[i] << endl;
        cout << endl;
        return;
    }
    
    for(int i = 0; i < n; i++)  // 尝试在当前行的每一列放置皇后
    {
        // 检查列和对角线是否可用
        if(!col[i] && !dg[r-i+n] && !ndg[r+i])
        {
            // 放置皇后并标记
            col[i] = dg[r-i+n] = ndg[r+i] = true;
            g[r][i] = 'Q';
            
            // 递归处理下一行
            dfs(r+1);
            
            // 回溯，撤销选择
            g[r][i] = '.';
            col[i] = dg[r-i+n] = ndg[r+i] = false;
        }
    }
}

主函数

int main()
{
    cin >> n;
    // 初始化棋盘
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            g[i][j] = '.';
    
    dfs(0);  // 从第0行开始搜索
    return 0;
}

算法特点

1. 行优先搜索：逐行放置皇后，确保每行只有一个皇后
2. 冲突检测：
   • col[i]检测列冲突
   • dg[r-i+n]检测主对角线冲突
   • ndg[r+i]检测副对角线冲突
3. 回溯机制：当无法继续放置时撤销选择，尝试其他可能性

对角线索引技巧

1. 主对角线（左上到右下）：

   • 使用r-i+n作为索引（加n避免负索引）
   • 同一条对角线上r-i为常数

2. 副对角线（左下到右上）：

   • 使用r+i作为索引
   • 同一条对角线上r+i为常数

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n!)，因为最坏情况下需要尝试所有排列组合
• 空间复杂度：O(n)，主要消耗在递归栈和标记数组上

示例输出（n=4时）

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

这段代码是解决N皇后问题的经典回溯实现，通过巧妙的标记数组和递归回溯，高效地找到了所有可能的解。