抽象代数

代数系统

为什么要研究抽象代数？？

代数学的研究历史悠久，但是从20世纪初以来，代数学的研究对象和研究方法发生了重大变化，人们慢慢发现许多不同的代数系统有相似的运算和结构，于是抽象代数应运而生。其实抽象代数就是把一些代数系统特殊的性质抽离出来，只研究他们最根本的结构和运算性质。

可以说没有抽象代数结构的研究和数理逻辑研究的先行发展，图灵机这样的计算模型就不可能被设计出来，另一方面，格和布尔代数在计算机硬件设计以及通信系统设计中也扮演着重要的角色，半群理论在自动机和形式语言的研究中发挥着重要作用。

基本概念

定义1：一个$S_1 \times S_2 \times ... \times S_m$ 到S的映射$f：S_1 \times S_2 \times ... \times S_m\rightarrow S$称为m元代数运算，其中$S1，S2, ..., Sm$ 都是集合， $m\ge0$.

定义2：n个非空集合$S_1,...,S_n$和它们上面的m个代数运算$f1,...,fm$所组成的 系统称为一个代数系统，或简称为一个代数，记为$\lt S1,S2,...,Sn,f1,...,fm \gt$,其中$n，m\ge1$.

例子：
$\lt I, + ,X \gt$,其中$I$是整数集合， $+$和$\times$是整数的加法和乘法.

代数系统的性质，就是指系统中的运算所具有的性质，这些性质规定了运算，可以将其中的基本性质看成公理，并用方程组的形式表示出来。反过来，一组公理也规定了一个代数系统，这样的代数系统就叫做抽象代数系统.

既然可以用一组公理规定抽象代数系统中得出的结论，对于满足这组公理的任何代数系统也都成立，正是这种看法引导人们去研究抽象的代数系统.

其中研究的问题主要有三个:

1. 满足这组公理的代数系统是否存在？(存在问题);
2. 若存在，有几个这样的代数系统?(数量问题);
3. 这样的代数系统的结构是什么?(构造问题);

同态和同构

定义3:设

$A = \lt S_A, \Sigma_A\gt$,其中$S_A = \{S_1^A,...,S_n^A\}$, $\Sigma_A=\{f_1^A,...,f_m^A\}$

$B = \lt S_B, \Sigma_B\gt$,其中$S_B = \{S_1^B,...,S_n^B\}, \Sigma_A=\{f_1^B,...,f_m^B\}$

是两个代数系统，$h=\{h_:S_i^A\to S_i^B | 1\le i \le n\}$ 是一族映射.

若h满足:
对任意$f_i^A:S^A_{i1}\times...\times S^A_{ik}\to S^A_{j}(1\le i \le m, i_1,...i_k, j \le n)$ 和任意$(a_1,...,a_k)\in S^A_{i1}\times...\times S^A_{ik}$ 都有

$$h_j(f_i^A((a_1,...,a_k))) = f_i^B(h_{i1}(a_1),...,h_{ik}(a_k))$$
则称 $h$为代数系统A到B的同态映射，简称A与B同态，若$h$是一族满射时，称为 $A$与$B$ 满同态.

定义4：若定义3中的映射族$h$ 中的每一个$h$ 中的每一个$h_i$ 都是一一映射，则称$h$ 为代数系统$A$ 到 $B$ 的同构映射，简称同构，也可以说对于代数运算$\Sigma_A$ 和 $\Sigma_B$, A和B同构，并记为$A \cong B$

例：
对于代数系统$\lt I, +\gt$ （其中$I$ 是整数集合， +是整数加法）和 $\lt \{-1,1\},\times\gt$,若令$h(a) = 1(对于任意的a\in I)$，显然$h$ 是$I$ 到$\{-1,1\}$ 的一个映射，并且有$h(a+b) = 1$;而$h(a)\times h(b) = 1 \ times1 = 1$,所以

$$h(a+b) = h(a)\times h(b)$$ 因此 $h$是$\lt I, +\gt$ 到 $\lt \{-1,1\},\times\gt$ 的一个同态映射.

子代数和商代数

定义5:设

$S_A = \{S_1^A,...,S_n^A\}$, $\Sigma_A=\{f_1^A,...,f_m^A\}$

$S_B = \{S_1^B,...,S_n^B\}, \Sigma_A=\{f_1^B,...,f_m^B\}$

代数系统$\lt S_B, \Sigma_B\gt$ 称为代数系统$\lt S_A, \Sigma_A\gt$的一个子代数，如果

• 对任意的$1\le i \le n$, $S_i^B \subseteq S_i^A$

• 对任意的$1 \le i \le m$, $f_i^A:S^A_{i1}\times...\times S^A_{ik}\to S^A_{j}$, 其中$j_1,...j_k,j\le n$， 有 $f_j^B=f_i^A|S^B_{i1}\times...\times S^B_{ik}\to S^B_{j}$

为了便于理解，下面用一个集合与一个二元运算组成的代数系统来叙述上述定义.
$\lt S^B, f^B\gt$ 称为 $\lt S^A, f^A\gt$ 的一个子代数，如果

• $S_B \subseteq S_A$
• $f^B = f^A|S^B \times\ S^B$

例：
设$N$是自然数集合，$E$是非负偶数集合， $\times$是自然数乘法集合，则$\lt E,\times \gt$,是$\lt N，\times\gt$ 的一个子代数.

定义6:一族关系$R =\{R_i|1\le i\le n\}$,称为代数系统$\lt S_A,\Sigma_A\gt$，上的一致关系，如果

• 每一个$R_i$ 是 $S_i^A$ 上的等价关系.
• 每一个 $f_i^A:S^A_{j1}\times...\times S^A_{jk}\to S^A_{j}(k \le n)$满足：

对任意$(a_1,...,a_k),(a_1^{'},...,a_k^{'})\in S^A_{j1}\times...\times S^A_{jk}$,若$a_lR_{il}a_l^{'},1\le l \le k$，则$f_i^A(a_1,...,a_k)R_jf_i^A(a_1^{'},...,a_k^{'})$

定义7:设$R =\{R_i|1\le i\le n\}$是代数系统$\lt S_A,\Sigma_A\gt$(其中$S_A=\{S_1^A,...,S_n^A\},\Sigma_A=\{f_1^A,...,f_m^A\}$)上的一致关系，$\lt S_A，\Sigma_B\gt$的有R引起的商代数系统$\lt S_A/R，\Sigma_B/R\gt$定义为

$S_A/R = \{S_i^A/R_i|1\le i \le n\}$，其中$S_i^A/R_i=\{[ a ]_R| a\in S_i^A \}$

$\Sigma_A/R = \{f_j^A/R|1\le j \le m\}$，其中$f_i^A/R ([ a_1 ]_{R_{j1}},...,[ a_k ]_{R_{jk}})=[f_i^A(a_1,...,a_k)]_{R_j}$

例:
下面求代数系统$\lt I,\times\gt$（$I$表示整数集合，+表示普通加法）的一个商代数.
规定$I$的元之间的一个关系R为:$aRb$当且仅当$n|a-b$,其中$n$是一个固定的正整数，显然R是一个等价关系，称为模$n$的同余关系.$R$将$I$划分为如下的等价类:
$[ 0 ]_R = \{...,-2n,-n,0,n,2n\}$
$[1]_R = \{...,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1\}$
…
$[ n-1 ]_R = \{...,-n-1,-1,2n-1,n,3n-1\}$
记$I/R={[0]_R,[1]_R,...,[n-1]_R}$,对任意$a,b\in I$定义运算$+_n$如下：

$$[a]_R+_n[b]_R=[a+b]_R$$

则$\lt I/R，+_n\gt$为$\lt I，+\gt$的由R引起的一个商代数.