伯德图和零极点

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本文介绍有关伯德图和零极点的相关内容。

一、伯德图简介

电路的稳定性是指电路在受到外部干扰或内部参数变化时，能够保持其正常工作状态的能力。稳定性描述的是电路对输入的不同频率的干扰信号的抑制性能。

伯德图描述了在电路中输入信号频率的变化对输出信号的影响，该影响包括两方面的变化：增益和相位。

将系统对不同频率输入信号的增益画成曲线就是伯德图的增益（幅值）曲线，将系统对不同频率输入信号的相移画成曲线就是伯德图的相位曲线。

二、增益与相位

相位是指信号在某一时刻的状态，它描述了信号的波形相对于某个参考点的位置。相位通常用角度来表示，例如0度、90度、180度等。

增益是指信号在经过某个系统或设备后，其幅度（或功率）相对于输入信号的增加倍数。增益的单位是分贝，可以简单理解为输出信号比输入信号的放大倍数。电压分贝和放大倍数有直接的对应关系，用y表示电压分贝，用x表示放大倍数，则y=20lg(x)。下表可以直观的看出dB单位与放大倍数的关系。

在伯德图中：

在增益为0dB处，对应穿越频率，对应着相位裕度。

相位裕度是相位响应曲线在穿越频率点（0dB）与-180度之间的相位差。

在相位为180度处，对应着增益裕度。

增益裕度是增益响应曲线在相位为-180度的频率点与0dB之间的增益差。

相位裕度、增益裕度表征着系统与不稳定性的“距离”。

相位裕度、增益裕度越大，说明控制系统越强健，越稳定。当然，如果相位裕度过大，意味着系统的响应速度慢，所以需要将相位裕度调整到合理范围内。

三、零点与极点

在伯德图实际应用中会经常碰到极点和零点的概念。极点和零点指的都是某个频率点。

当某频率信号输入时，电路系统输出信号的幅度发生了衰减（增益衰减3dB），输出信号的相位产生滞后（相位滞后45°），这个频率点就是极点Pole（相频曲线-45°，频率无穷大-90°，这个频率点就是极点Pole）。在极点之后，随着频率增大，输出幅度进一步衰减，在伯德图上表现为在极点之后，增益按照-20dB/十倍频衰减。在极点之后，随着频率增大，相位进一步滞后，在伯德图上表现为在极点之后，相位按照-45°/十倍频衰减。

如果电路系统中有两个极点，随着频率增大，增益衰减，相位滞后至-180°，可能导致电路系统振荡。所以在大多数情况，我们并不希望存在极点。但是由于现实的元器件是有寄生参数的，所以极点是天然存在的。为避免电路输出振荡，我们一般人为地增加零点，所谓的频率补偿就是做这个事情。

零点Zero的作用就是抵消极点Pole的作用，矫正输出信号衰减的趋势，矫正相位滞后的趋势。在零点之后，随着频率增大，输出幅度进一步增大，在伯德图上表现为在零点之后，增益按照+20dB/十倍频增大。在零点之后，随着频率增大，相位进一步超前，在伯德图上表现为在零点之后，相位按照+45°/十倍频增大。

在下图中，零点的作用就体现在1kHz频率位置，零点抵消了前一个极点（100Hz）引起的增益衰减的作用。

在传递函数中，极点会使得传递函数的分母为零，零点会使得传递函数的分子为零。换句话说，极点会使得传递函数数学计算结果变为“极”大，零点会使得传递函数数学计算结果变为“零”。

通常在实际应用中，我们要求系统伯德图的相位裕度＞45°，建议相位裕度在45°~80°之间，增益裕度＞10dB，穿越频率的斜率-20dB/十倍频，此时可认为系统是强健稳定的。