求一个数的所有因数的和

/*
    给你一个数求出这个数的所有因数的和


    这题没什么特别的
    知道一个公式即可
    假设这个数是n,质因数分解后可以写成
    n=a1^k1*a2^k2*……*ai^ki
    所求的数的因数和f(n)就等于
    f(n)=(1+a1+a1^2+……+a1^k1)*(1+a2+a2^2+……+a2^k2)*……*(1+ai+ai^2+……+ai^ki)
    然后根据等比数列求和
    f(n)=(a1^(k1+1)-1)/(a1-1)*(a2^(k2+1)-1)/(a2-1)*……*(ai^(ki+1)-1)/(ai-1)
    即可

*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <string.h>
#define ll long long
#define mod 10000000033
#define MAX 40000
#define S 0
#define N 100
using namespace std;
ll p[MAX];
ll prime[MAX];
ll k;
void init()
{
    k=1;
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=2; i<MAX; i++)
    {
        if(!p[i])
        {
            for(int j=i+i; j<MAX; j+=i)
            {
                p[j]++;
            }
            prime[k]=i;
            k++;
        }
    }
}
ll quickpow(ll n,ll a)
{
    ll ans=1;
    while(a>=1)
    {
        if(a&1)
            ans=n*ans;
        a=a>>1;
        n=n*n;
    }
    return ans;
}
ll pr[MAX];
ll num[MAX];
int main()
{
    init();
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        if(n==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        memset(pr,0,sizeof(pr));
        memset(num,0,sizeof(num));
        ll cnt=1;
        for(ll i=1; i<=k-1; i++)
        {
            if(prime[i]>n)
                break;
            if(n%prime[i]==0)
            {
                pr[cnt]=prime[i];
                while(1)
                {
                    n/=prime[i];
                    num[cnt]++;
                    if(n%prime[i]!=0)
                        break;
                }
                cnt++;
            }
        }
        pr[cnt]=n;
        num[cnt]=1;
        ll ans=1;
        for(int i=1; i<=cnt; i++)
        {
            if(pr[i]==1)
                continue;
            ans*=(pow(pr[i],num[i]+1)-1)/(pr[i]-1);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
<think>嗯,用户想了解如何一个的所有因数。这个问题看起来不算太难,但要系统地解释清楚可能需要分步骤说明。首先,我需要回忆一下因数的基本定义,因数是指能整除该且没有余的整。例如,6的因数是1、2、3、6。接下来,我需要确定一个有效的方法来找出所有因数。 可能的方法是从1到这个本身逐一检查每个是否能整除目标,但这种方法效率不高,特别是对于大来说,时间消耗太大。所以,我需要想一个更高效的方法。通常,寻找因数的最优方法是利用因数的成对特性,即如果a是n的因数,那么n/a也是n的因数。因此,只需要检查到n的平方根即可,这样可以减少计算量。 举个例子,比如36的因数。从1开始试除,36除以1得36,所以136都是因数。接着是2,36除以2得18,所以218都是因数。继续到3,36除以3得12,312被加入列表。然后是4,36除以4得9,得到49。接下来是6,36除以6得6,这里两个因数都是6,说明到达平方根的位置,此时停止循环。这样收集到的因数就是1、2、3、4、6、9、12、18、36,没有重复也没有遗漏。 不过,需要注意的是,当处理平方时,平方根只计算一次,比如16的平方根是4,这时候只需要添加4一次,而不是两次。这可能需要特别注意,避免重复添加。 接下来,我需要将这个过程步骤化,确保用户能够按照步骤操作。首先,用户需要输入一个正整n,然后初始化一个空列表来存储因数。接着循环从1到sqrt(n),检查每个i是否能整除n。如果能整除,就将in/i添加到列表中。最后,对列表进行排序,去除重复项(如果有的话),比如当n是平方时,in/i可能相同。 另外,需要提醒用户注意边界情况,比如当n为0时,因数有无穷多个,但通常讨论因数时是指正整。如果n是负,可能需要先转换为正处理,或者根据具体情况调整。 总结下来,步骤应该是: 1. 输入正整n。 2. 初始化一个空列表factors。 3. 循环i从1到sqrt(n),检查i是否整除n。 4. 如果整除,添加in/i到factors。 5. 循环结束后,对factors进行排序去重。 6. 输出factors。 这个方法的时间复杂度是O(sqrt(n)),比逐个检查到n的O(n)要高效很多,特别是对于大来说差异明显。 可能还需要举一个具体的例子来帮助用户理解,比如n=28,它的因数是1、2、4、7、14、28。按照步骤,i从1到sqrt(28)≈5.29,所以检查i=1到5。当i=1时,28/1=28;i=2时,28/2=14;i=4时,28/4=7;i=5时,不能整除。循环结束后,收集到1、28、2、14、4、7,排序后得到正确结果。 另外,可能需要处理用户可能的疑问,比如如何处理重复的因数,或者当n=1时的特殊情况,这时候因数只有1本身。同时,确保用户理解为什么只需要检查到平方根的位置,这是因为因数成对存在的特性,超过平方根后的因数已经在前面被作为对应的另一部分添加了。 最后,确保步骤清晰,并且提供代码示例或者手动计算的步骤,让用户可以根据需要应用这个方法。</think>要找出一个的所有因数,可以按照以下步骤进行: --- ### **步骤 1:理解因数的定义** **因数**是能整除该且没有余的正整。例如,6的因数有:1, 2, 3, 6。 --- ### **步骤 2:利用因数成对特性** 如果 $a$ 是 $n$ 的因数,则 $n/a$ 也一定是 $n$ 的因数。 例如,$n=12$ 时,若 $a=3$ 是因数,则 $12/3=4$ 也是因数。 --- ### **步骤 3:遍历范围优化** 只需检查 $1$ 到 $\sqrt{n}$ 的整,无需遍历到 $n$,因为超过 $\sqrt{n}$ 的因数会通过 $n/a$ 找到。 - 若 $n$ 是平方(如 $16=4^2$),则 $\sqrt{n}$ 需单独处理以避免重复。 --- ### **步骤 4:具体操作步骤** 1. **初始化空列表**:存储所有因数。 2. **循环遍历 $1$ 到 $\sqrt{n}$**: - 对每个 $i$,若 $i$ 能整除 $n$,则记录 $i$ $n/i$。 3. **排序并去重**:合并结果并排序。 --- ### **示例: 28 的所有因数** 1. **计算 $\sqrt{28} \approx 5.29$**,遍历 $1$ 到 $5$。 2. **检查每个**: - $1$ 能整除 $28$ → 记录 $1$ $28$。 - $2$ 能整除 $28$ → 记录 $2$ $14$。 - $4$ 能整除 $28$ → 记录 $4$ $7$。 - $3,5$ 不能整除。 3. **合并结果**:$[1, 2, 4, 7, 14, 28]$。 --- ### **特殊情况处理** - **$n=1$**:因数只有 $1$。 - **$n=0$**:所有非零整都是因数(通常讨论正整)。 - **负**:先取绝对值,再按正处理。 --- ### **算法代码示例(Python)** ```python def find_factors(n): factors = [] for i in range(1, int(n**0.5) + 1): if n % i == 0: factors.append(i) if i != n // i: # 避免平方重复 factors.append(n // i) factors.sort() return factors print(find_factors(28)) # 输出 [1, 2, 4, 7, 14, 28] ``` --- ### **总结** 通过利用因数成对特性,将时间复杂度从 $O(n)$ 优化到 $O(\sqrt{n})$,显著提升效率。
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