求和公式

参考资料 《算法导论》

求和公式

A.1

$$\sum_{k = 1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)$$

A.3

$$\sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)} {6}$$

A.4

$$\sum_{k = 1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2} {4}$$

A.5

$$\sum_{k = 0}^n x^k = \frac{x^{n+1}-1} {x-1}$$

A.6

$$\sum_{k = 0}^∞ x^k = \frac{1}{1-x}$$

其中 $|x| < 1$

A.8

$$\sum_{k=0}^{∞} kx^k = \frac{x}{(1-x)^2}$$

其中 $|x| < 1$

A.9

对于数列{$a_0..a_n$}

$$\sum_{k=1}^{n-1} (a_k-a_{k-1}) = a_n-a_0$$

分析和证明

• A.1 ~ A.4都可以用归纳法证明，并不是很难

• A.5证明方法：设左边为$S$，求出$xS$，则$\frac{xS-S}{x-1} = S$等于右边。

• A.6：因为$|x| < 1$，所以$\lim_{n\rightarrow ∞} x^{n+1} = 0$

• A.8：A.6原式两面微分，两边乘x

• A.9：记得小学涉及过
  例如：$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}...+\frac{1}{k(k+1)}$
  因为 $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，所以对数列$\frac{1}{1},\frac{1}{2}...\frac{1}{k}$使用公式，得到
  

  $$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1-\frac{1}{n}$$
  也就是
  $\sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$