最优化理论与自动驾驶（二）：求解算法

高斯-牛顿法（Gauss-Newton Method）、梯度下降法（Gradient Descent Method）、牛顿法（Newton's Method）和勒文贝格-马夸尔特法（Levenberg-Marquardt Method, LM方法）都是用于求解优化问题的迭代算法。它们之间在方法的基本原理、适用范围、收敛速度、计算成本等方面都有差异，以下是这些方法的详细比较。

1. 应用场景

• 梯度下降法: 通用优化算法，适用于最小化任何连续、可微函数。广泛应用于深度学习、线性回归、逻辑回归等领域。

• 牛顿法: 用于寻找无约束优化问题的极小值点。主要用于优化二次可微函数，适合需要高精度解的问题。

• 高斯-牛顿法: 专门用于非线性最小二乘问题，尤其在参数拟合问题中较常见。

• 勒文贝格-马夸尔特法: 是一种介于梯度下降和高斯-牛顿法之间的算法，也主要用于非线性最小二乘问题，特别适合解决模型参数估计的难题。

2. 迭代公式

• 梯度下降法: 基于目标函数梯度的更新规则：

     

    其中 α 是学习率，是梯度

• 牛顿法: 使用目标函数的二阶导数（即海森矩阵）来更新参数：

    

    其中，H是目标函数的海森矩阵（即二阶导数矩阵）。

• 高斯-牛顿法: 在最小二乘问题中，使用雅可比矩阵的近似来避免计算完整的海森矩阵：

    

    其中，J是残差函数的雅可比矩阵， 是残差向量。

• 勒文贝格-马夸尔特法: 结合梯度下降和高斯-牛顿法，通过引入阻尼参数平衡两者：

    

    其中， λ 是阻尼因子，I是单位矩阵。较大时接近梯度下降法，较小时接近高斯-牛顿法。

3. 收敛速度

• 梯度下降法: 收敛速度较慢，特别是在优化问题接近最优解时，学习率的选择至关重要。

• 牛顿法: 由于利用了二阶导数信息，收敛速度通常比梯度下降快，具有二次收敛的特性（在最优解附近迅速收敛）。

• 高斯-牛顿法: 比梯度下降法快，但没有牛顿法那样的二次收敛速度。不过在最小二乘问题中，高斯-牛顿法通常比牛顿法高效，因为它不计算完整的海森矩阵。<