寻找最长等差数列

问题描述：给定一个大小为n的数组，要求写出一个算法，求出其最长的等差数列的子序列。

首先问题并没有要求要按照原来数组的顺序，所以可以先对该数组排序。

 

1. 如果不要求该最长子序列中的元素是相邻的话，可以用一个简单的DP来完成。

令 f [i] [j] 表示以 i 为结尾的某子序列（该子序列的等差为 j )的最大长度；

那么    f [i] [j] =  f [i-1] [ Num[i] - Num[j] ] +1 ,  i>0，此等式则为DP的转移方程，明显这个算法的复杂度是O( n^ 2)的；

 

代码很好写了，只是这里偷懒假设了 两个数间的差的最大值（即上面方程中 j 的取值范围）是有范围的，因此才偷懒用数组在常数时间内完成查找，而如果去掉这个假设的话，就得用Vector然后二分查找或者直接用 map，这都会导致最后的复杂度是 O ( n^ 2 * logn )；

 

const int MAX=1010;
int dp[MAX][MAX];
int longestSubSeq(vector<int> nums)
{
	int sz=nums.size();
	if (sz <= 1) return sz;

	sort(nums.begin(),nums.end());

	int ans=1;
	int i,j;
	for(i=0;i<MAX;i++)
		for(j=0;j<MAX;j++)
			dp[i][j]=1; //单独成列

	for(i=1;i<sz;i++)
	{
		for(j=i-1;j>=0;j--)
		{
			int diff=nums[i]-nums[j];
			dp[i][diff]=dp[j][diff]+1;
			ans=max(ans,dp[i][diff]);
		}
	}
	return ans;
}

1.2 还有另外一种DP的方法，令 dp[i] [j] 表示 i 到 j 的子串能够取到的最大值， 那么明显 dp [i] [j] = max{ dp[i] [k] +1 |  nums[j]- nums[k] = nums[k] - nums[i] , 其中 i<k<j，从i,j的长度开始计算即可。这个方法的复杂度是 O (n ^3 )；代码很简单。

int maxSeq(vector<int>& num)
{
	int n=num.size();
	if(n<2)
		return 0;
	vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(n,1));
	int ans=1;
	for(int i=0;i<n-1;i++)
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			int k=0;
			for(int t=0;t<i;t++)
			{
				if(num[i]-num[t]==num[j]-num[i])
					k=max(k,dp[t][i]);
			}
			dp[i][j]+=k;
			ans=max(ans,dp[i][j]);
		}
		return ans+1;
}

 

2. 如果要求子序列是连续的，那么用 dp[i] 表示以i结尾的子串可以得到的最大长度, len[i]对应这个长度的序列的等差值；

所以有  dp [i] = dp[i-1]+1 （当 nums[i]-nums[i-1] = len[i-1] ）或2；