[各种面试题] 拓扑排序、欧拉路径/回路_欧拉路径面试题-优快云博客

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本文探讨拓扑排序及其在判断图中环的应用，同时详细阐述欧拉回路和欧拉路径的概念。无向图欧拉回路要求所有顶点度数为偶数，欧拉路径则限制奇数度数顶点数量。有向图的欧拉回路和路径存在条件涉及入度与出度的平衡。

拓扑排序不用解释了。

下面的代码用的是DFS的思路来做，稍微修改也可以用作判断是否有环。

int c[N];
int topo[N],t;

bool dfs(int u)
{
	c[u]=-1;
	for(int v=0;v<n;v++)
		if ( graph[u][v]==1 )
		{
			if ( c[v]==-1 )
				return false;  // circle
			else if ( c[v]==0 && !dfs(v) )
				return false;
		}
	c[u]=1;
	topo[--t]=u;  //sequence
	return true;
}

bool toposort()
{
	t=n;
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int u=0;u<n;u++)
		if ( c[u]==0 )
			if ( dfs(u)== false )
				return false;
	return true;
}

欧拉回路：从图的某一个顶点出发，图中每条边走且仅走一次，最后回到出发点；如果这样的回路存在，则称之为欧拉回路。

欧拉路径：从图的某一个顶点出发，图中每条边走且仅走一次，最后到达某一个点；如果这样的路径存在，则称之为欧拉路径。

无向图欧拉回路存在条件：所有顶点的度数均为偶数。

无向图欧拉路径存在条件：至多有两个顶点的度数为奇数，其他顶点的度数均为偶数。

有向图欧拉回路存在条件：所有顶点的入度和出度相等。

有向图欧拉路径存在条件：至多有两个顶点的入度和出度绝对值差1（若有两个这样的顶点，则必须其中一个出度大于入度，另一个入度大于出度）,其他顶点的入度与出度相等。

void dfs(int u) {
    for(int v = 1; v <= n; v++) {
        if(!graph[u][v])  continue;
        graph[u][v] = graph[v][u] = false;
        dfs(v);
        edgeTrail.add(u, v);
        nodeTrail.add(u);
    }
}