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最新推荐文章于 2020-03-27 16:39:10 发布

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分类专栏： Polya定理burnside定理

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本文介绍了一个利用Polya定理解决大规模组合计数问题的方法，具体讨论了如何通过快速幂和欧拉函数求解旋转环的染色方案数，并给出了高效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

n个珠子的环，之多着n种颜色，考虑旋转，不考虑翻转。问模P的方案数。

思路：

1<= N <= 1000000000 我们运用polya定理，ans=（1/N）*sigma（n，gcd（i，n））；

T<= 3500组数据直接做怕是会TLE

这里我们知道[0，n-1]中有许多gcd为1的数据不必一一遍历这些数据有euler（n）个

我们还能得出gcd为2的有euler（n/2）个

只要一一遍历n的约数即可O（sqrt(n)）的时间复杂度

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define long long int
using  namespace std;
int n,p; 

int euler(int n){ //¡¤¦Ì??euler(n)   
     int res=n,a=n;  
     for(int i=2;i*i<=a;i++){  
         if(a%i==0){  
             res=res/i*(i-1);//?¨¨??DD3y¡¤¡§¨º??a¨¢?¡¤¨¤?1?D??¨ºy?Y¦Ì?¨°?3?   
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
     return res%p;  
} 
int qpow(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)  ans=(ans*a)%p;
		a=(a*a)%p;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    
	while(T--)
	{
	 scanf("%d%d",&n,&p);
		int ans=0;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=(ans+(euler(n/i)*qpow(n%p,i-1)))%p;	
		if(i*i!=n)
		   	ans=(ans+(euler(i)*qpow(n%p,(n/i)-1)))%p;
			
		} 
    }
	 printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
   }