[HAOI2011]Problem b-优快云博客

本文介绍了一种利用莫比乌斯函数解决特定数学问题的方法，即求解在给定范围内，满足特定最大公约数条件的数对数量。通过前缀和优化计算过程，实现了高效求解。

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题目描述：

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

题解：（上图）

然后可以用前缀和维护连续一段莫比乌斯函数的和。

乘上n/k/d * m/k/d就行了。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 50050
#define ll long long
bool vis[N];
int pri[N],tot,mu[N];
ll sum[N];
void get_mu()
{
    mu[1]=1;sum[1]=1ll;
    for(int i=2;i<=50000;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            pri[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=50000;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }else
            {
                mu[i*pri[j]]=-1*mu[i];
            }
        }
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
}
ll cal(int a,int b)
{
    ll ret = 0;
    int nxt = 1;
    for(int i=1;i<=a&&i<=b;i=nxt+1)
    {
//        ret+=1ll*mu[i]*(a/i/k)*(b/i/k);
        nxt = min(min(a,b),min(a/(a/i),(b/(b/i))));
        ret+=(sum[nxt]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);
    }
    return ret;
}
int n,a,b,c,d,k;
int main()
{
    get_mu();
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%lld\n",cal(b/k,d/k)-cal((a-1)/k,d/k)-cal(b/k,(c-1)/k)+cal((a-1)/k,(c-1)/k));
    }
    return 0;
}