数论之杂学也有用

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于 2013-08-03 19:20:23 发布

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分类专栏：数论* 文章标签：数论

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本文深入探讨了数论中的互质概念及其应用，并介绍了如何通过欧拉函数计算互质数的个数、和与乘积。此外，还讲解了一个数的因子数计算方法，通过分解质因数来快速得出结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

互质：

const int mod=1000000007;
void prime_re()
{
    x[1]=z[1]=1;  
    y[1]=2;  
    for(i=2;i<maxn;i++)  //gcd(a,b)==1
    {  
        x[i]=(x[i-1]+phi[i]*2)%mod;  //表示1~i中互质的对数
        y[i]=(y[i-1]+phi[i]*i*3)%mod; //表示1~i中互质数的和∑(a+b) 
        z[i]=(z[i-1]+phi[i]*i%mod*i)%mod;  //表示1~i中互质数乘积的和∑a*b
    } 
}
/*
    phi[i]为欧拉函数,a,b<=m中，∑∑=a，b两两互质的个数=1+(phi[2]+phi[3]+...+phi[m])*2 
    phi[i]的个数只是说a<b，b=i时有多少个，还有a>b，所以要乘以2，除了a=b=1以外 
        
    定理：如果gcd(a,b)==1,则gcd(a,a-b)==1。所以phi[i]个与i互质的数总是成对出现，每对之和为i 
    所以∑∑(a+b)=∑(phi[i]/2*i+phi[i]*i)*2 
         
    由上述定理可以知道：phi[i]个互质的数与i的乘积之和为i*(x1+x2+..xm)=i*ph[i]/2*i; 
    所以∑∑(a*b)=∑(phi[i]*i*i/2)*2 
*/

2.一个数的因子数为它的各个质因子个数+1的乘积。

若x的质因子为p1,p2,...pk,个数分别为c1,c2,...,ck，则x的因子数为(c1+1)*(c2+1)*...*(ck+1)。

例24=2*2*2*3 。因子个数为(3+1)*(1+1)=8;