（四）傅里叶变换：离散傅里叶变换（DFT） DTFT-＞DFT

最新推荐文章于 2024-12-08 02:14:20 发布

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本文深入解析了有限长离散变换中的离散傅里叶变换（DFT），包括正交变换的概念、DFT的定义式及其矩阵表示形式，并探讨了DFT与离散时间傅里叶变换（DTFT）之间的关系。

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有限长离散变换：离散傅里叶变换

Finite-Length Discrete Transforms： DFT(Discrete Fourier Transform)

1.正交变换（Orthogonal Transforms）

若对于基序列 ψ[k,n]，有：

那么对于有限长度的序列x[n]（0≤n≤N-1），其正交变换与正交反变换的系数为：

2.DFT的定义式

若使用旋转引子(twiddle factor)来表示DFT，那么有：

正变换（DFT）：

反变换（IDFT）：

3.DFT的矩阵形式

用矩阵形式来表示DFT，那么若设原信号与频谱分别为：

$\boldsymbol{x}=\left[ x[0],x[1],\cdots,x[N-1] \right ]^T,\boldsymbol{X}=\left[ X[0],X[1],\cdots,X[N-1] \right ]^T$

那么傅里叶基变换矩阵为：

$\boldsymbol{W}=\begin{bmatrix} W_N^{1\cdot1} &W_N^{1\cdot2} &\cdots &W_N^{1\cdot N} \\ W_N^{2\cdot1} &W_N^{2\cdot2} &\cdots &W_N^{2\cdot N} \\ \vdots& \vdots & &\vdots \\ W_N^{N\cdot1} &W_N^{N\cdot2} &\cdots &W_N^{N\cdot N} \\ \end{bmatrix}$

那么对于 $\boldsymbol{x}\in R^N,\boldsymbol{X}\in R^N ,\boldsymbol{W}\in R^{N\times N}$ ，DFT的矩阵形式就可以写作：

$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{W}\cdot\boldsymbol{x}$

4.DFT与DTFT的关系

离散傅里叶变换（DFT）X[k]是由在序列x[n]的DTFT的区间0≤ω≤2π以间隔2π/N等间隔取样得到的，即：

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