69、弦图子类中的边收缩问题研究

弦图子类中的边收缩问题研究

1. 引言

在图论领域，图的收缩操作是一个重要的研究方向。本文聚焦于弦图子类中的边收缩问题，探讨不同类型图之间的收缩可能性及其计算复杂度。涉及的图类包括平凡完美图、阈值图、分裂图等，我们将深入分析这些图类在边收缩操作下的特性。

2. 预备知识

• 图的基本定义 ：本文所考虑的图均为无向、有限且简单的图。若顶点 (v \in V(G)) 与图 (G) 中的其他所有顶点相邻，则称 (v) 为通用顶点。对于集合 (S \subseteq V(G))，(G[S]) 表示由 (S) 诱导的 (G) 的子图，(G - v) 表示 (G[V(G) \setminus {v}])。若 (G[S]) 是连通的，则称集合 (S) 是连通的。若存在顶点 (s \in S) 和 (s’ \in S’) 相邻，则称两个不相交的集合 (S, S’ \subseteq V(G)) 是相邻的。图的连通分量若至少包含一条边，则称为非平凡连通分量。图 (G) 的顶点排序 (\alpha = (v_1, v_2, \ldots, v_n)) 若满足 (d(v_1) \geq d(v_2) \geq \cdots \geq d(v_n))，则称为非递增度排序。
• 边收缩操作 ：在图 (G) 中收缩边 (uv) 意味着从 (G) 中移除 (u) 和 (v)，并替换为一个新顶点，该新顶点与至少与 (u) 或 (v) 之一相邻的顶点相邻。有时我们也说将顶点 (u) 收缩到 (v) 上，若收缩后得到的新顶点仍称为 (v)。用 (G/uv) 表示通过收缩边 (uv) 从 (G) 得到的图。若图 (H) 与通过一系列边收缩从 (G) 得到的图同构，则称图 (G) 可以收缩到图 (H)，或 (G) 是 (H) - 可收缩的。
• 相关图类定义
  • 余图 ：不包含四个顶点的路径作为诱导子图的图。
  • 区间图 ：直线上区间的交集图，是弦图的子类。
  • 弦图 ：没有长度大于 3 的诱导环的图。
  • 平凡完美图 ：每个连通诱导子图都包含一个通用顶点的图。若图 (G) 的顶点排序 (\alpha = (v_1, v_2, \ldots, v_n)) 满足 (v_i) 是 (G[{v_i, v_{i + 1}, \ldots, v_n}]) 的一个连通分量中的通用顶点，则称 (\alpha) 为通用 - 分量排序（uco）。图是平凡完美图当且仅当它有 uco，且当且仅当每个非递增度排序都是 uco。
  • 分裂图 ：其顶点集可以划分为一个团 (C) 和一个独立集 (I) 的图，((C, I)) 称为分裂划分。本文中，除非另有说明，假设分裂划分 ((C, I)) 中的团 (C) 是最大的。
  • 阈值图 ：既是分裂图，又对于任意分裂划分 ((C, I))，存在 (C) 中顶点的排序 ((v_1, v_2, \ldots, v_k)) 使得 (N[v_1] \supseteq N[v_2] \supseteq \cdots \supseteq N[v_k])，且存在 (I) 中顶点的排序 ((u_1, u_2, \ldots, u_{\ell})) 使得 (N(u_1) \subseteq N(u_2) \subseteq \cdots \subseteq N(u_{\ell})) 的图。

图类	定义
余图	不包含四个顶点的路径作为诱导子图
区间图	直线上区间的交集图，弦图子类
弦图	没有长度大于 3 的诱导环
平凡完美图	每个连通诱导子图含通用顶点，有 uco
分裂图	顶点集可划分为团和独立集
阈值图	满足特定邻接关系的分裂图

3. 平凡完美图的收缩与诱导子图同构

• 定理 1 ：对于任意两个连通平凡完美图 (G) 和 (H)，以下三个陈述等价：
  • (G) 可以收缩到 (H)。
  • (G) 包含一个与 (H) 同构的诱导子图。
  • (T_G) 可以收缩到 (T_H)。

该定理的证明分为两部分：
- (i) 与 (ii) 的等价性 ：若 (G) 是 (H) - 可收缩的，由于 (G) 是平凡完美图，对于收缩的边 (uv)，有 (N_G[u] \subseteq N_G[v]) 或 (N_G[v] \subseteq N_G[u])，不妨设 (N_G[u] \subseteq N_G[v])，则收缩边 (uv) 等价于从 (G) 中删除顶点 (u)。反之，若 (G’) 是 (G) 的一个与 (H) 同构的诱导子图，设 (x) 是 (G) 的通用顶点，可找到包含 (x) 的与 (H) 同构的诱导子图 (G’‘)，且删除不在 (G’‘) 中的顶点等价于收缩边。
- (ii) 与 (iii) 的等价性 ：若 (G) 包含一个与 (H) 同构的诱导子图 (G’)，删除 (G) 中得到 (G’) 所需的顶点，对应在 (T_G) 中进行边收缩操作，可得到 (T_H) - 可收缩的树。反之，若 (T_G) 是 (T_H) - 可收缩的，收缩 (T_G) 中的边对应删除 (G) 中的顶点，可得到与 (H) 同构的诱导子图。

• 推论 1 ：在连通平凡完美图上，可收缩性和诱导子图同构问题都是 NP - 完全的。
• 定理 2 ：给定一个阈值图 (G) 和一个任意图 (H)，可以在线性时间内决定 (G) 是否可以收缩到 (H)。
  • 证明思路 ：可假设 (G) 和 (H) 都是连通阈值图，先在线性时间内计算 (T_G) 和 (T_H)。由于 (G) 是阈值图，(T_G) 包含一个唯一的从根开始的最大路径 (S = s_1 \cdots s_g)，使得路径上的每个顶点至少有一个子节点。在 (T_H) 中有类似的路径 (T = t_1 \cdots t_h)。若 (T_G) 是 (T_H) - 可收缩的，则可以生成 (T_H) - 见证结构 (W)。
• 定理 3 ：给定一个平凡完美图 (G) 和一个阈值图 (H)，可以在多项式时间内决定 (G) 是否可以收缩到 (H)。
  • 证明思路 ：利用阈值图最多有一个非平凡连通分量的事实，可假设 (G) 和 (H) 都是连通图。对于 (T_G) 中从根到叶的每条路径 (S)，定义 (C(S)) 为通过收缩 (T_G) 中除了两端点都在 (S) 中或与叶节点关联的边之外的所有边得到的图。(G) 是 (H) - 可收缩的当且仅当存在 (T_G) 中的路径 (S) 使得 (C(S)) 是 (T_H) - 可收缩的。

graph TD;
    A[平凡完美图G] -->|收缩| B[阈值图H];
    C[阈值图G] -->|收缩| D[任意图H];
    E[连通平凡完美图G] -->|收缩| F[连通平凡完美图H];
    E -->|包含诱导子图| F;
    E -->|T_G收缩到T_H| F;

4. 分裂图的收缩

• 定理 6 ：在输入对 ((G, H)) 中，若 (G) 是连通分裂图，(H) 是连通阈值图，则可收缩性问题是 NP - 完全的。
  • 证明思路 ：通过从超图 2 - 可着色性问题（已知是 NP - 完全问题）进行归约。给定一个超图 (F = (Q, S))，构造一个分裂图 (G) 和一个阈值图 (H)，证明 (G) 可以收缩到 (H) 当且仅当 (F) 有 2 - 着色。
• 定义 1 ：设 (G) 和 (H) 是两个分裂图，分别具有分裂划分 ((C_G, I_G)) 和 ((C_H, I_H))。若 (G) 有一个 (H) - 见证结构 (W) 使得 (W(I_H) = U)，则称集合 (U \subseteq I_G) 且 (|U| = |I_H|) 为 (H) - 兼容集。
• 引理 1 ：两个分裂图 (G) 和 (H)，(G) 是 (H) - 可收缩的当且仅当 (G) 包含一个 (H) - 兼容集。
• 引理 2 ：设 (G) 和 (H) 是两个连通分裂图，分别具有分裂划分 ((C_G, I_G)) 和 ((C_H, I_H))，(C_H = {x_1, \ldots, x_k})。集合 (U \subseteq I_G) 且 (|U| = |I_H|) 是 (H) - 兼容集当且仅当存在一个由 (V(G) \setminus U) 的两两不相交子集 (M(x_1), \ldots, M(x_k)) 组成的集合 (M)，满足以下性质：
  • 最多一个 (M) 中的集合包含 (I_G) 中的顶点，且若存在这样的集合，其基数为 1。
  • 对于每个子集 (X \subseteq U)，(M(x_i)) 中最多包含两个顶点 (a) 和 (b) 使得 (N_G(a) \cap U = N_G(b) \cap U = X)，(i = 1, \ldots, k)。
  • (\sum_{i = 1}^{k} |M(x_i)| \leq |C_H| \cdot 2^{|I_H| + 1})。
  • 对于每个 (v \in V(G) \setminus (U \cup \sum_{i = 1}^{k} M(x_i)))，(M) 中存在一个集合与 (N_G(v) \cap U) 中的每个顶点相邻。
  • 图 (G’ = G[U \cup \sum_{i = 1}^{k} M(x_i)]) 有一个 (H) - 见证结构 (W’) 使得 (W’(I_H) = U) 且 (W’(x_i) = M(x_i))，(i = 1, \ldots, k)。
• 引理 3 ：给定两个分裂图 (G) 和 (H)，分别具有分裂划分 ((C_G, I_G)) 和 ((C_H, I_H))，对于集合 (U \subseteq I_G) 且 (|U| = |I_H|)，可以在 (f(|V(H)|) \cdot |V(G)|^3) 时间内决定 (U) 是否是 (H) - 兼容集，其中函数 (f) 仅依赖于 (H) 而不依赖于 (G)。
  • 证明思路 ：通过构造“候选”基本集 (M(x_i))，检查其是否满足引理 2 中的性质来判断 (U) 是否是 (H) - 兼容集。

综上所述，本文对弦图子类中的边收缩问题进行了深入研究，明确了不同图类在可收缩性和诱导子图同构问题上的计算复杂度，为图论相关领域的研究提供了重要的理论基础。在实际应用中，这些结果可用于解决诸如网络优化、数据结构设计等问题。未来的研究可以进一步探索其他图类的收缩性质，以及这些性质在更复杂场景下的应用。

弦图子类中的边收缩问题研究

5. 不同图类收缩问题复杂度总结

为了更清晰地展示不同图类在收缩问题上的复杂度，我们将相关结果整理成如下表格：

(G)	(H)	复杂度
平凡完美图（输入）	平凡完美图（输入）	NP - 完全
平凡完美图（输入）	阈值图（输入）	多项式
平凡完美图（输入）	平凡完美图（固定）	多项式
阈值图（输入）	任意图（输入）	线性
分裂图（输入）	阈值图（输入）	NP - 完全
分裂图（输入）	任意图（固定）	多项式

从这个表格中，我们可以直观地看到不同图类组合下收缩问题的复杂度差异。例如，当 (G) 和 (H) 都是平凡完美图且作为输入时，收缩问题是 NP - 完全的；而当 (G) 是阈值图，(H) 是任意图时，收缩问题可以在线性时间内解决。

6. 收缩问题与图结构的关系

• 平凡完美图的特殊性质 ：平凡完美图的收缩问题与诱导子图同构问题紧密相关。定理 1 揭示了连通平凡完美图 (G) 和 (H) 之间收缩、诱导子图同构以及它们对应的树 (T_G) 和 (T_H) 收缩之间的等价关系。这表明平凡完美图的结构使得边收缩操作和诱导子图的存在性有很强的内在联系。这种联系在实际应用中可以帮助我们在判断收缩问题时，从诱导子图的角度进行思考，反之亦然。
• 阈值图的高效处理 ：阈值图在收缩问题上表现出较好的计算复杂度。无论是与任意图还是平凡完美图组合，都能在多项式时间甚至线性时间内解决收缩问题。这得益于阈值图的特殊结构，其顶点的邻接关系满足特定的排序规则，使得我们可以通过构建 uco - 树等方式，高效地判断收缩的可能性。

graph LR;
    A[平凡完美图] -->|收缩与诱导子图等价| B[连通性与树结构关联];
    C[阈值图] -->|高效收缩处理| D[特殊邻接排序规则];

7. 收缩问题的实际应用

• 网络优化 ：在网络设计中，我们可以将网络抽象为图，通过边收缩操作来简化网络结构。例如，在一个通信网络中，某些节点之间的连接可以通过收缩边来合并，从而减少网络的复杂度，提高网络的性能。如果网络对应的图是平凡完美图或阈值图，我们可以利用本文的研究结果，高效地判断是否可以进行有效的收缩操作。
• 数据结构设计 ：在数据结构的设计中，图的收缩问题也有重要的应用。例如，在图数据库中，我们可以通过收缩图来减少数据的存储和查询复杂度。对于不同类型的图数据，根据其所属的图类，选择合适的收缩算法，以达到优化数据结构的目的。

8. 研究展望

虽然本文对弦图子类中的边收缩问题进行了较为深入的研究，但仍有许多方向值得进一步探索。
- 其他图类的收缩性质 ：除了文中研究的平凡完美图、阈值图和分裂图，还有许多其他图类，如平面图、外平面图等，它们的收缩性质尚未得到充分研究。未来可以对这些图类进行深入分析，确定其收缩问题的复杂度。
- 复杂场景下的应用 ：在实际应用中，图的结构可能更加复杂，可能涉及多个图类的组合，或者图的顶点和边具有不同的属性。如何将本文的研究结果应用到这些复杂场景中，是一个值得研究的问题。例如，在一个包含多种类型网络的大型系统中，如何利用图的收缩操作进行整体优化。

graph TD;
    A[研究展望] --> B[其他图类收缩性质];
    A --> C[复杂场景应用];
    B --> D[平面图收缩研究];
    B --> E[外平面图收缩研究];
    C --> F[多图类组合优化];
    C --> G[带属性图收缩应用];

综上所述，本文围绕弦图子类中的边收缩问题展开了全面的研究，通过对不同图类的分析，明确了收缩问题的复杂度，并探讨了其在实际应用中的可能性。未来的研究将进一步拓展图论在更多领域的应用，为解决实际问题提供更强大的理论支持。