44、递归函数学习中的非构造性程度探究

递归函数学习中的非构造性程度探究

在递归函数学习的领域中，非构造性的程度对于学习策略和结果有着重要的影响。下面将深入探讨递归函数学习中不同类型的学习定义、相关定理及证明，以及非构造性程度的具体情况。

1. 基础概念

• 集合与函数定义
  • 设 (N = {0, 1, 2, \ldots}) 为自然数集，(N^+ = N\setminus{0})，(N^*) 为自然数的所有有限序列的集合。
  • 用 (|S|) 和 (\wp(S)) 分别表示集合 (S) 的基数和幂集。
  • 用 (T) 表示 (N) 上所有单变量全函数的集合，(P)、(R)、(P^2)、(R^2) 分别表示 (N) 上一变量和二变量的部分递归函数和递归函数的集合。
  • 对于函数 (f \in P)，(\text{dom}(f) = {x | x \in N, f(x) \text{ 有定义}}) 为其定义域，(\text{Val}(f) = {f(x) | x \in \text{dom}(f)}) 为其值域。
  • 若对于所有 (x, y \in N)，当 (x < y) 且 (f(x)) 和 (f(y)) 都有定义时，有 (f(x) < f(y))，则称函数 (f \in P) 为严格单调函数，用 (R_{mon}) 表示所有严格单调递归函数的集合。
• 编号与程序
  • 任何函数 (\psi \in P^2) 称为一个编号。若 (\psi \