37、区间图部分表示扩展问题的算法解析

区间图部分表示扩展问题的算法解析

1. 引言

在图论中，区间图和相关的图结构在许多领域都有广泛应用。本文将详细介绍解决区间图部分表示扩展问题（RepExt(INT)）的算法，同时也会涉及到扩展适当区间图和同时区间图的算法。

2. 扩展区间图

在解决 RepExt(INT) 问题时，我们考虑所有区间端点不同的表示，因为这样可以简化描述。实际上，每个区间图都有这样的表示，并且通常也会采用这种表示。即便区间共享端点，我们也可以对算法进行修改以适应这种情况。

2.1 区间图的识别

区间图的线性时间识别曾经是一个长期未解决的开放问题，Booth 和 Lueker 首次使用 PQ - 树解决了这个问题。如今，有两种主要的线性时间识别方法：
- 第一种方法是找到最大团的可行排序，这可以通过一种称为 PQ - 树的数据结构来实现。
- 第二种方法利用字典序广度优先搜索的惊人特性，多次遍历图，并在图是区间图时构建表示。

我们采用 PQ - 树方法来解决 RepExt(INT) 问题，时间复杂度为 $O(n^2)$。

2.2 最大团

PQ - 树方法基于 Fulkerson 和 Gross 对区间图的如下刻画：
引理 1（Fulkerson 和 Gross） ：一个图是区间图当且仅当存在最大团的一个排序，使得对于每个顶点，包含该顶点的团在这个排序中连续出现。

考虑一个区间图的区间表示，对于每个最大团，考虑表示该团顶点的区间，并在它们的交集中选择一个点（由于实数线上的区间具有 Helly 性质，这个交集非