35、多标准旅行商问题的确定性算法

多标准旅行商问题的确定性算法

1 多标准旅行商问题概述

旅行商问题（TSP）是研究得最为广泛的组合优化问题之一。TSP 有多种变体，包括最小化问题（Min - TSP）和最大化问题（Max - TSP），并且根据图的有向性和边权的不同约束，又可细分为对称 TSP（STSP）和非对称 TSP（ATSP），以及满足不同三角形不等式（如 γ - 三角形不等式）和边权限制（如边权为 1 和 2）的 TSP。

1.1 TSP 变体的定义

• Min - TSP ：给定一个完全图 $G = (V, E)$，边权 $d : E \to Q^+$ 满足三角形不等式，目标是找到一个权重最小的哈密顿回路（也称为巡回）。若 $G$ 为无向图，则为 Min - STSP；若 $G$ 为有向图，则为 Min - ATSP。若限制边权满足 $\gamma$ - 三角形不等式（$d(u, v) \leq \gamma \cdot (d(u, x) + d(x, v))$ 对于所有不同的 $u, v, x \in V$，其中 $\gamma \in [1/2, 1)$），则得到 Min - $\gamma$ - STSP 和 Min - $\gamma$ - ATSP。若边权限制为 1 和 2，则为 Min - 1/2 - STSP 和 Min - 1/2 - ATSP。
• Max - TSP ：边权 $w : E \to Q^+$，目标是找到一个权重最大的巡回。

所有这些 TSP 变体都是 NP 难和 APX 难的，因此需要近似算法。不同变体的 TSP 已有一些近似