19、组合拍卖中二次效用函数的最优分配问题

组合拍卖中二次效用函数的最优分配问题

在拍卖领域，组合拍卖是一种允许竞拍者对物品组合进行出价的拍卖方式，而非仅针对单个物品。这种拍卖方式在出售频谱许可证、污染许可证、土地等场景中具有重要应用，能够提高多物品销售时的经济效率。不过，组合拍卖的实施面临着诸多挑战，其中效用函数的表示就是一个关键问题。

组合拍卖与最优分配问题

组合拍卖中，每个竞拍者都有一个效用函数，用于衡量其对不同物品子集的满意度。拍卖者的目标是找到一种物品分配方案，使得所有竞拍者的效用总和最大化，这就是最优分配问题。

形式上，设物品集合为 $V = {1, 2, \cdots, n}$，竞拍者集合为 $M = {1, 2, \cdots, m}$。每个竞拍者 $i$ 都有一个单调的效用函数 $f_i : 2^V \to R$，即当 $X \supseteq Y$ 时，$f_i(X) \geq f_i(Y)$。拍卖者需要找到一个 $V$ 的划分 $(S_1, S_2, \cdots, S_m)$，使得 $\sum_{i = 1}^{m} f_i(S_i)$ 最大。

然而，传统的效用函数表示需要为每个物品子集提供一个值，这导致所需的实数值总数呈指数级增长。这不仅让竞拍者难以准确表达其偏好，也使得拍卖者面临输入规模过大的问题，难以在短时间内解决最优分配问题。

二次效用函数的引入

为了解决上述问题，需要寻找一类具有简洁表示且足够通用的效用函数。二次效用函数就是这样一类函数，其形式为：
[f(X) = \sum_{u,v\in X,u<v} a(u, v) + \sum_{v\in X} b(v) \quad (X \subseteq V)]