12、图的 L(2, 1)-标签快速精确算法

图的 L(2, 1)-标签快速精确算法

在图论的研究中，L(2, 1)-标签问题是一个重要的研究方向。此前，即使对于任意大的最小度，算法的运行时间也不优于 $O^ (3^n)$。后来，有学者对算法进行了修改和运行时间分析的细化，证明其算法运行时间为 $O^ (3.2361^n)$，并给出了该算法最坏情况下运行时间的下界 $\Omega(3.0731^n)$。而 $O^*(3^n)$ 这一神奇的运行时间似乎仍难以实现。现在，我们在这个问题上取得了突破。

1. 关键定理与算法基础

• 定理 1 ：可以在 $O^ (2.6488^n)$ 时间内确定连通图的 L(2, 1)-跨度。
  我们的算法基于减少动态规划算法递归步骤中执行的操作数量，这本质上类似于 Strassen 的矩阵乘法算法。此技巧本身可实现 $O^ (3^n)$ 的运行时间，进一步的改进则是通过证明顶点集的不相交子集对（其中一个集合是 2 - 填充）的数量上限实现的。

2. 辅助组合结果

在研究中，我们考虑有限无向图，无多重边或环。以下是一些基本定义：
- 图 $G$ 的顶点集用 $V(G)$ 表示，边集用 $E(G)$ 表示。
- 顶点 $u$ 在图 $G$ 中的开放邻域用 $N_G(u)$ 表示，$N_G[u] = N_G(u) \cup {u}$ 表示 $u$ 的封闭邻域。
- 顶点集 $X$ 在图 $G$ 中的邻域用 $N_G(X) = \bigcup_{v \in X} N_G(v)$ 表示，其封闭邻域用 $N_G[X] = N_G(X) \cup