47、快速高效计算加性加权Voronoi单元及约旦区域并集规则顶点数量研究

快速高效计算加性加权Voronoi单元及约旦区域并集规则顶点数量研究

加性加权Voronoi单元计算算法

在计算加性加权Voronoi单元时，有如下重要定理：
设 $S = {σ_i, 1 ≤ i ≤ n}$，所描述的算法计算球体 $σ$ 的加性加权Voronoi单元的期望时间为 $O(\sum_{r = 1}^{n} \frac{n + r}{r^2} \hat{τ}(r) \log n)$。可以观察到，时间需求仅仅是空间需求乘以一个 $\log n$ 的因子。

证明 ：
- 根据命题1和3，创建的期望冲突总数为 $O(n \sum_{r = 1}^{n} \frac{\hat{τ}(r)}{r^2})$。
- 同样，如命题2所示，由于重新三角剖分创建的期望单纯形总数受 $O(\sum_{i = 1}^{r} \frac{\hat{τ}(r)}{r})$ 限制。
- 因此，这些步骤所需的期望总计算工作量受 $O(\sum_{r = 1}^{n} \frac{n + r}{r^2} \hat{τ}(r) \log n)$ 限制。
- 在步骤 $i$（$i$ 是2的幂）进行的清理操作，显然涉及算法到步骤 $i$ 执行的所有操作的一个子集。因此，清理所需的期望总计算工作量受和式 $O(\sum_{k = 1}^{\lfloor\log n\rfloor} \sum_{r = 1}^{2^k} \frac{n + r}{r^2} \hat{τ}(r) \log n)$ 限制。

推论1 ：
- 所描述的算法计算一个球体 $σ$ 在 $n$ 个其他球体中的