43、稀疏网格上的基础问题求解

稀疏网格上的基础问题求解

1. 引言

在普通二维网格中，由于其较小的二分宽度，使用 $n^2$ 个处理单元（PUs）时，大多数问题的最大加速比仅为 $\Theta(n)$。而像超立方体这样的网络，随着网络规模的增大，对互连模块的要求也越来越高。立方连接循环虽然没有这个问题，但由于其不规则性，编程难度较大。

稀疏网格是一种仅在二维网格对角线上分布 PUs 的分布式内存机器。它由一个二维 $n×n$ 的总线网格组成，PUs 连接在对角线上。水平总线称为行总线，垂直总线称为列总线。PUi（$0 ≤ i < n$）可以沿第 $i$ 行总线发送数据，并从第 $i$ 列总线接收数据。在一步操作中，PUi 可以向任意的 PUj 发送一个标准长度的数据包。数据包先沿第 $i$ 行总线传输到位置 $(i, j)$，然后转入第 $j$ 列总线。同时，要避免总线冲突，即算法必须保证在每一步中，每条总线仅用于传输一个数据包。

与普通网格相比，稀疏网格将 PUs 的数量从 $n^2$ 减少到 $n$，大大节省了硬件成本。与其他网络相比，它的互连网络非常简单，易于制造且可无问题地扩展。它与并行交替方向机器（PADAM）和涂层网格类似，但更为简单。

并行计算依赖于 PUs 之间的数据交换。在众多通信模式中，每个 PU 最多发送和接收 $h$ 个数据包的 $h$ 关系模式备受关注。如果每个 PU 向其他每个 PU 发送 $h/n$ 个数据包，则该 $h$ 关系被称为平衡的。在具有 $n$ 个 PUs 的稀疏网格上，平衡的 $h$ 关系可以在 $h$ 步内完成。但并非所有 $h$ 关系都是平衡的，因此需要高效路由任意 $h$ 关系的算法。

离线情况下，所有 $h$ 关