36、平面图最小消除排序算法详解

平面图最小消除排序算法详解

1. 广度优先搜索初步近似最小消除排序

首先，我们选择一个顶点 $r$ 作为最大元素，通过广度优先搜索来确定各层级 $L_i$。这里的 $L_i$ 由与顶点 $r$ 距离为 $i$ 的顶点组成。对于图 $G$ 中的任意顶点 $x$，我们用 $l(x)$ 表示 $x$ 所在的层级，即若 $x \in L_i$，则 $l(x) = i$。

有如下定理：存在一个最小消除排序 $<$，满足：
1. $r$ 是 $<$ 中的最大元素；
2. 若 $x \in L_i$，$y \in L_j$，且 $j < i$，则 $x < y$。

证明思路：根据相关理论，图 $G$ 顶点集的一个连通子集的闭邻域 $C$ 是最小消除排序的一个最终段，即存在一个最小消除排序 $<$，使得当 $x \notin C$ 且 $y \in C$ 时，$x < y$。

我们将具有上述性质的最小消除排序称为忠实排序。值得注意的是，层级 $L_i$ 可以在线性时间内确定。

2. 距离层级的结构

2.1 添加辅助边

假设图的面是顺时针定向的。我们定义层级对角线集合 $E_1$ 如下：对于图 $G$ 的每个面 $f$ 以及处于同一层级 $l(x) = l(y)$ 的所有顶点 $x$ 和 $y$，若在面 $f$ 的顶点顺时针枚举中，$x$ 和 $y$ 之间的所有顶点都处于某个层级 $L(j)$，且 $j > l(x) = l(y)$，则在 $E_1$ 中添加连接 $x$ 和 $y$ 的边。

确定 $E_1$ 的线性时间算法步骤如下