7、感知机学习与最大间隔分类器：原理、算法与优化

感知机学习与最大间隔分类器：原理、算法与优化

在机器学习领域，分类问题一直是研究的核心内容之一。本文将深入探讨感知机学习算法的对偶性以及最大间隔分类器的相关知识，包括其原理、算法实现和优化过程。

1. 感知机学习算法的对偶性

1.1 对偶性的引入

传统的感知机学习算法中，训练集中的每个点对决策面位置的贡献是通过所属类别的均值来体现的。然而，研究发现，靠近类别边界的点对寻找合适决策面的贡献比其他点更大。基于这一洞察，我们可以得到感知机训练算法的另一种形式——对偶形式。

1.2 对偶算法的实现

为了实现对偶算法，我们引入一个计数器向量 $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$，其中每个分量 $\alpha_i$ 记录训练集点 $x_i$ 被误分类的次数。以下是修改后的感知机学习算法：

Initialize α and b to 0.
repeat
    for each (xi, yi) ∈ D do
        if ˆf (xi) ̸= yi then
            Increment αi by 1.
            Update b.
        end if
    end for
until D is perfectly classified
return α and b

在算法的最内层循环中，我们用增加对应误分类训练集点 $x_i$ 的分量 $\alpha_i$ 的规则取代了法向量更新规则。虽然新算法不再直接计算指定决策函数所需的法向