树及二叉树的基本概念

树

1.树的基本概念

树是一种非线性的数据结构，由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：每个结点有零个或多个子结点；没有父结点的结点称为根结点；每一个非根结点有且只有一个父结点；除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

度（节点的度）：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。如上图度为4。
叶节点（终端节点）：度为0的节点称为叶节点。如上图B,F,J,K,I,E.
非终端节点（分支节点）：度不为0的节点。如上图A,C,D,G,H.
双亲节点（父节点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。如上图A(子：B,C,D,E),C(F,G),D(H,I),G(F),H(K)
孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。如上图B(父：A)。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。如：B,C,D,E互为兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度。如上图度为6。
节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层。
树的高度或深度：树中节点的最大层次。如图为4层。
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟。如图F和H。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点。如图A为祖先节点。
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都成为该节点的子孙。所有节点都是A的子孙
森林：有m（m>=0）棵互补相交的树的集合称为森林。

2 树的表示

树的结构相对线性表就比较复杂，要存储表示起来就比较麻烦，实际中树有很多表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法，孩子兄弟表示法等等。

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild; //第一个孩子节点
	struct Node* _pNextBrother;//指向其下一个兄弟节点
	DataType _data;
}; 

二叉树

1 基本概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
   如图：
   

2 特殊二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3 二叉树的性质

（1）若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个节点

（2）若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树的最大节点数为（2^k）-1(k>=0)

（3）对任意一棵二叉树，如果其叶节点的个数为n0,度为2的非叶节点个数为n2, 则n0=n2+1

（4）具有n个节点的完全二叉树的深度k为log2（n+1）向上取整（向大数取整）

（5）对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下，从左至右的顺序，对所有节点从0编号
序号i的特点：
1)若i>0,双亲节点：(i-1)/2；
2)若2i+1<n,则左孩子为2i+1;否则无左孩子
3)若2i+2<n,则右孩子为2i+2;否则无右孩子

4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

4.1 顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

4.2 链式存储结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。