标记永久化的线段树

本文探讨了在解决classroom问题时,使用线段树优化算法,尤其是关于标记是否需要下放的讨论。作者分享了一段最简洁的线段树代码,并指出通过优化标记处理可以提升算法效率。

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      本文纯属自娱自乐.

      前些日子考了一道叫classroom的题目,大意是这样的:给你一个序列a,每次将l到r的元素-k,问你哪次操作后会开始出现负的元素.

      正解是二分+差分.很多人打的带标记的线段树.我考场上打的二分,后来有人说线段树常数太大,我告诉他们标记不下放可以提高速度,战神则坚持认为标记一定要下放,于是就有了这篇蛋疼的文章.

      直接贴代码,最裸的线段树.我现在写的线段树跟以前的有了很大的变化,也许是因为打多了吧.

Code:

program classroom;
type int=longint;
const max=maxlongint>>3;
var
        i,j,k,m,n,x,y,z:int;
        min,de,lb,rb,a:array[1..5000000]of int;

function mini(x,y:int):int;
begin
        if x<y then exit(x)
                else exit(y);
end;

procedure build(rt,l,r:int);var m:int;
begin
        if l>=r then begin
                min[rt]:=max;exit;
        end;
        if l=r-1 then begin
                min[rt]:=a[r];
                lb[rt]:=l;rb[rt]:=r;
                exit;
        end;
        lb[rt]:=l;rb[rt]:=r;
        m:=(l+r)>>1;
        build(rt<<1,l,m);
        build(rt<&l
### 线段树标记永久化在单点查询中的实现方法 线段树标记永久化是一种优化技术,它通过共用节点的方式避免了传统线段树中频繁的标记下传操作。这种方法在线段树的每次更新查询时直接将标记信息保存下来,无需每次都进行下推操作[^2]。 对于单点查询而言,标记永久化的实现逻辑与区间查询类似,但更简单。以下是具体的实现方法: 1. **数据结构设计**: 需要维护两个数组: - `sum[]`:记录每个区间的值(例如区间)。 - `add[]`:记录每个区间的懒惰标记(即需要增加的值)。 在单点查询中,`add[]`主要用于记录区间修改的影响。 2. **更新操作**: 当对某个区间进行修改时,如果当前区间完全包含修改区间,则仅更新该区间的`add[]`值;否则,递归更新子区间,并根据重叠部分调整`sum[]`值[^3]。 3. **查询操作**: 单点查询时,从根节点开始向下遍历,直到找到目标叶子节点。在遍历过程中,累加经过的所有节点的`add[]`值,最终结果为叶子节点的`sum[]`值加上所有经过路径上的`add[]`值之。 以下是基于标记永久化的单点查询实现代码示例: ```python class SegmentTree: def __init__(self, n): self.n = n self.sum = [0] * (4 * n) # 存储区间 self.add = [0] * (4 * n) # 存储懒惰标记 def pushup(self, rt): self.sum[rt] = self.sum[rt << 1] + self.sum[rt << 1 | 1] def update(self, L, R, C, l, r, rt): if L <= l and r <= R: # 完全包含 self.add[rt] += C self.sum[rt] += C * (r - l + 1) return mid = (l + r) // 2 if L <= mid: self.update(L, R, C, l, mid, rt << 1) if R > mid: self.update(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1) self.pushup(rt) def query(self, idx, l, r, rt): if l == r: # 到达叶子节点 return self.sum[rt] mid = (l + r) // 2 res = self.add[rt] # 累加当前节点的懒惰标记 if idx <= mid: return res + self.query(idx, l, mid, rt << 1) else: return res + self.query(idx, mid + 1, r, rt << 1 | 1) # 示例使用 n = 10 st = SegmentTree(n) st.update(1, 5, 3, 1, n, 1) # 区间 [1, 5] 每个位置加 3 print(st.query(3, 1, n, 1)) # 查询位置 3 的值 ``` ### 实现细节说明 - **更新函数**:当修改区间完全包含当前区间时,直接更新`add[]``sum[]`;否则递归更新子区间。 - **查询函数**:从根节点开始向下遍历,直到找到目标叶子节点。在遍历过程中,累加经过的所有节点的`add[]`值。 - **时间复杂度**:单点查询的时间复杂度为 \(O(\log N)\),其中 \(N\) 是线段树的大小。 --- ###
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