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网络分析与时间序列数据处理
1. 计算最大连通分量的大小
在网络分析中，计算最大连通分量的大小是一项重要任务。我们可以使用 Sparkling 的
count-by-value
函数来实现这一目标。以下是具体的代码示例：
(defn ex-8-28 []
(spark/with-context sc (-> (g/conf)
(conf/master "local")
(conf/app-name "ch8"))
(->> (load-canonical-edgelist
sc "data/twitter_combined.txt")
(connected-components)
(g/vertices)
(to-java-pair-rdd)
(spark/values)
(spark/count-by-value)
(into []))))
运行这段代码后，结果
[[12 81306]]
表明所有 81306 个顶点都处于一个大的连通分量中，这意味着图中的每个人都通过朋友或关注关系相互连接。
2. 使用标签传播检测社区
社区可以非正式地定义为一组顶点，这些顶点内部的连接比与社区外部顶点的连接更强。如果社区内的每个顶点都与其他顶点相连，则该社区被称为团。在 Twitter 网络中，社区可以看作是一组相互关注彼此关注者的用户群体。较小的社区可能对应于友谊群体，而较大的社区更可能对应于共同兴趣群体。
标签传播是一种用于社区检测的算法，它可以将每个用户最多分配到一个社区。其迭代实现步骤如下：
1. 初始化所有顶点属性等于顶点 ID。
2. 对于每条边，将源顶点和目标顶点的属性发送到对端节点。
3. 对于每个顶点，计算每个传入属性的频率。
4. 对于每个顶点，将属性更新为传入属性中最频繁的属性。
5. 重复上述步骤，直到收敛或达到最大迭代次数。
以下是使用
pregel
函数实现标签传播的代码：
(defn label-propagation-v [id attr msg]
(key (apply max-key val msg)))
(defn label-propagation-m [{:keys [src-attr dst-attr]}]
{:src {dst-attr 1}
:dst {src-attr 1}})
(defn label-propagation [graph]
(->> (glitter/map-vertices (fn [vid attr] vid) graph)
(p/pregel {:message-fn label-propagation-m
:combiner (partial merge-with +)
:vertex-fn label-propagation-v
:max-iterations 10})))
代码步骤解释如下：
-
步骤一：映射顶点
：使用
g/map-vertices
函数将每个顶点的属性更新为顶点 ID。
-
步骤二：发送顶点属性
：沿着每条边发送对端顶点的属性，每个消息是一个属性到值 “1” 的映射。
-
步骤三：聚合值
：使用 Clojure 的
merge-with
函数将所有传入消息合并，得到属性到频率的映射。
-
步骤四：顶点函数
：选择传入属性中频率最高的属性作为顶点的新属性。
-
步骤五：设置最大迭代次数
：为避免无限循环，将
:max-iterations
设置为 10。
以下是在完整 Twitter 数据集上运行标签传播的代码：
(defn ex-8-29 []
(spark/with-context sc (-> (g/conf)
(conf/master "local")
(conf/app-name "ch8"))
(let [xs (->> (load-canonical-edgelist
sc "data/twitter_combined.txt")
(label-propagation)
(g/vertices)
(to-java-pair-rdd)
(spark/values)
(spark/count-by-value)
(vals)
(frequencies))]
(-> (c/scatter-plot (keys xs) (vals xs))
(c/set-axis :x (c/log-axis :label "Community Size"))
(c/set-axis :y (c/log-axis :label "# Communities"))
(i/view)))))
运行这段代码后，会生成一个对数 - 对数散点图，展示社区大小的分布。结果显示，社区大小的分布遵循幂律，小社区比大社区更常见，最大的社区约有 10000 名成员，最小的社区只有 1 名成员。
3. 使用 PageRank 衡量社区影响力
一种简单的衡量社区内影响力的方法是计算特定顶点的入边数量，在 Twitter 中，这对应于拥有大量关注者的账户。然而，这种方法将所有入边视为相等，在社交图中，某些关注者本身可能是受欢迎的账户，他们的关注具有更高的重要性。
PageRank 算法由 Larry Page 和 Sergey Brin 于 1996 年在斯坦福大学开发，它通过计算页面的链接数量和质量来大致估计网站的重要性。一个账户的重要性取决于两个因素：关注者的数量和每个关注者的重要性，而每个关注者的重要性也以同样的方式计算，因此 PageRank 具有递归定义。
PageRank 的迭代计算过程如下：
1. 初始化所有顶点具有相同的权重，可以是 1 或 1/N（N 为顶点数量），这里我们选择前者。
2. 在第一次迭代中，每个账户将自己的排名平均分配给其关注的所有页面。
3. 账户 j 的排名 rj 定义为所有传入排名的总和：$r_j = \sum_{i \to j} \frac{r_i}{n_i}$，其中 $r_i$ 是关注者的排名，$n_i$ 是关注者关注的账户数量。
4. 为了避免排名集中在少数账户上，PageRank 引入了阻尼因子 d，通常取值为 0.85。修改后的公式为：$r_j = (1 - d) + d \sum_{i \to j} \frac{r_i}{n_i}$。
以下是使用 Glittering 实现 PageRank 的代码：
(def damping-factor 0.85)
(defn page-rank-v [id prev msgsum]
(let [[rank delta] prev
new-rank (+ rank (* damping-factor msgsum))]
[new-rank (- new-rank rank)]))
(defn page-rank-m [{:keys [src-attr attr]}]
(let [delta (second src-attr)]
(when (> delta 0.1)
{:dst (* delta attr)})))
(defn page-rank [graph]
(->> (glitter/outer-join-vertices (fn [id attr deg] (or deg 0))
(glitter/out-degrees graph)
graph)
(glitter/map-triplets (fn [edge]
(/ 1.0 (glitter/src-attr edge))))
(glitter/map-vertices (fn [id attr] (vector 0 0)))
(p/pregel {:initial-message (/ (- 1 damping-factor)
damping-factor)
:direction :out
:vertex-fn page-rank-v
:message-fn page-rank-m
:combiner +
:max-iterations 20})
(glitter/map-vertices (fn [id attr] (first attr)))))
代码步骤解释如下：
- 使用
outer-join-vertices
函数将每个节点的出度连接到自身。
- 使用
map-triplets
函数将所有边的属性设置为其源顶点属性的倒数。
- 使用
map-edges
函数将每个节点的属性设置为默认值
[0 0]
，分别表示当前页面排名和本次迭代排名与上一次迭代排名的差值。
- 使用
pregel
函数进行迭代计算，直到达到最大迭代次数 20。
在运行 PageRank 之前，我们可以实现一个实用函数
top-n-by-pagerank
来列出排名前 10 的账户：
(defn top-n-by-pagerank [n graph]
(->> (page-rank graph)
(g/vertices)
(to-java-pair-rdd)
(spark/map-to-pair
(s-de/key-value-fn
(fn [k v]
(spark/tuple v k))))
(spark/sort-by-key false)
(spark/take n)
(into [])))
最后，我们可以实现一个函数
most-frequent-attributes
来返回出现频率最高的节点属性：
(defn most-frequent-attributes [graph]
(->> (g/vertices graph)
(to-java-pair-rdd)
(spark/values)
(spark/count-by-value)
(sort-by second >)
(map first)))
4. 运行 PageRank 确定社区影响者
以下是将标签传播和 PageRank 结合，确定 Twitter 社区中最有影响力账户的代码：
(defn ex-8-30 []
(spark/with-context sc (-> (g/conf)
(conf/master "local")
(conf/app-name "ch8"))
(let [communities (->> (load-edgelist
sc "data/twitter_combined.txt")
(label-propagation))
by-popularity (most-frequent-attributes 2 communities)]
(doseq [community (take 10 by-popularity)]
(println
(pagerank-for-community community communities))))))
运行这段代码后，会返回每个社区中排名前 10 的账户。例如，在第一个社区中，排名最高的账户包括美国喜剧和脱口秀主持人 Conan O’Brien、Barack Obama、Felicia Day 和 Neil Patrick Harris 等，这些人可以大致归类为美国名人。第二个社区的顶级影响者包括乐队 Paramore 及其成员 Hayley 和 Taylor，以及 Lady Gaga，表明该社区具有特定的音乐兴趣。第三和第四个社区则表现出强烈的游戏倾向，顶级影响者包括 X - Box、PlayStation、Steam 和 Markus Persson（Minecraft 的创造者）。
通过结合标签传播和 PageRank，我们能够确定具有相关兴趣的 Twitter 用户群体。
5. 时间序列数据处理
时间序列是按测量时间排列的定期观测数据序列。为了预测时间序列的未来值，我们需要假设未来值在一定程度上基于过去的值，这涉及到递归分析。在进行递归分析之前，我们可以使用线性回归技术来拟合时间序列数据的曲线。
时间序列数据的测量周期可以是每月（如销售数据）、每天（如降雨量或股票市场波动）或每分钟（如高流量网站的访问量）。通过将实际时间序列建模为新值由过去值生成的过程，我们希望能够模拟序列的未来发展并进行预测。
以下是时间序列数据处理的流程：
1. 收集时间序列数据。
2. 确保数据的观测间隔相等。
3. 选择合适的模型（如线性回归）进行拟合。
4. 根据模型进行预测。
通过以上步骤，我们可以对时间序列数据进行有效的分析和预测。
综上所述，网络分析和时间序列数据处理是两个重要的领域，它们在不同的场景中都有着广泛的应用。通过使用合适的算法和技术，我们可以更好地理解和处理这些数据。
下面是标签传播算法的 mermaid 流程图：
graph LR
A[初始化顶点属性为顶点 ID] --> B[发送属性到对端节点]
B --> C[计算传入属性频率]
C --> D[更新顶点属性为最频繁属性]
D --> E{是否收敛或达到最大迭代次数}
E -- 否 --> B
E -- 是 --> F[结束]
下面是 PageRank 算法的计算步骤表格：
| 步骤 | 操作 | 公式 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 初始化顶点权重 | 可以是 1 或 1/N |
| 2 | 分配排名 | $r_j = \sum_{i \to j} \frac{r_i}{n_i}$ |
| 3 | 引入阻尼因子 | $r_j = (1 - d) + d \sum_{i \to j} \frac{r_i}{n_i}$ |
| 4 | 迭代计算 | 直到达到最大迭代次数 |
网络分析与时间序列数据处理
6. 线性回归在时间序列中的应用
线性回归是一种常用的统计方法，可用于拟合时间序列数据。其基本思想是找到一条直线，使得该直线与时间序列数据点之间的误差平方和最小。
假设我们有一个时间序列数据 ${y_1, y_2, \cdots, y_n}$，对应的时间点为 ${t_1, t_2, \cdots, t_n}$。线性回归模型可以表示为：
$y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \epsilon_t$
其中，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon_t$ 是误差项。
我们的目标是估计 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的值，使得误差平方和 $S = \sum_{t=1}^{n} \epsilon_t^2$ 最小。通过最小二乘法，可以得到 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 的估计值：
$\hat{\beta} 1 = \frac{\sum {t=1}^{n} (t - \bar{t})(y_t - \bar{y})}{\sum_{t=1}^{n} (t - \bar{t})^2}$
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{t}$
其中，$\bar{t} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} t$，$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} y_t$。
以下是一个使用 Python 实现线性回归拟合时间序列数据的示例代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成示例时间序列数据
t = np.arange(1, 11)
y = 2 * t + 1 + np.random.randn(10)
# 计算均值
t_mean = np.mean(t)
y_mean = np.mean(y)
# 计算斜率和截距
beta_1 = np.sum((t - t_mean) * (y - y_mean)) / np.sum((t - t_mean) ** 2)
beta_0 = y_mean - beta_1 * t_mean
# 预测值
y_pred = beta_0 + beta_1 * t
# 绘制原始数据和拟合直线
plt.scatter(t, y, label='Original Data')
plt.plot(t, y_pred, color='red', label='Fitted Line')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.title('Linear Regression for Time Series')
plt.legend()
plt.show()
在这个示例中，我们首先生成了一个简单的时间序列数据，然后使用最小二乘法计算了斜率和截距，最后绘制了原始数据和拟合直线。
7. 递归分析在时间序列预测中的应用
递归分析是时间序列预测中的一种重要方法，它基于过去的值来预测未来的值。常见的递归模型包括自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型等。
7.1 自回归（AR）模型
自回归模型假设当前值 $y_t$ 是过去 $p$ 个值的线性组合，加上一个误差项：
$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t$
其中，$\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_p$ 是自回归系数，$p$ 是模型的阶数。
以下是一个使用 Python 实现 AR 模型的示例代码：
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成示例时间序列数据
np.random.seed(0)
y = np.random.randn(100).cumsum()
# 拟合 AR 模型
model = sm.tsa.AR(y)
model_fit = model.fit(maxlag=2)
# 预测未来值
predictions = model_fit.predict(start=len(y), end=len(y)+10)
# 绘制原始数据和预测值
plt.plot(y, label='Original Data')
plt.plot(np.arange(len(y), len(y)+11), predictions, color='red', label='Predictions')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.title('AR Model for Time Series Prediction')
plt.legend()
plt.show()
在这个示例中，我们首先生成了一个简单的时间序列数据，然后使用
statsmodels
库拟合了一个 AR 模型，并预测了未来 10 个值。
7.2 移动平均（MA）模型
移动平均模型假设当前值 $y_t$ 是过去 $q$ 个误差项的线性组合：
$y_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}$
其中，$\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_q$ 是移动平均系数，$q$ 是模型的阶数。
7.3 自回归移动平均（ARMA）模型
自回归移动平均模型结合了 AR 模型和 MA 模型的特点，假设当前值 $y_t$ 是过去 $p$ 个值和过去 $q$ 个误差项的线性组合：
$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}$
其中，$\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_p$ 是自回归系数，$\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_q$ 是移动平均系数，$p$ 和 $q$ 分别是 AR 和 MA 模型的阶数。
8. 总结
网络分析和时间序列数据处理是两个重要的领域，它们在不同的场景中都有着广泛的应用。
在网络分析方面，我们介绍了计算最大连通分量的大小、使用标签传播检测社区、使用 PageRank 衡量社区影响力等方法。通过这些方法，我们可以更好地理解网络的结构和用户之间的关系。
在时间序列数据处理方面，我们介绍了线性回归和递归分析等方法。线性回归可以用于拟合时间序列数据的曲线，而递归分析可以用于预测时间序列的未来值。
以下是网络分析和时间序列数据处理的方法总结表格：
| 领域 | 方法 | 描述 |
| ---- | ---- | ---- |
| 网络分析 | 计算最大连通分量大小 | 使用 Sparkling 的
count-by-value
函数 |
| 网络分析 | 标签传播 | 将每个用户最多分配到一个社区 |
| 网络分析 | PageRank | 计算节点的重要性 |
| 时间序列数据处理 | 线性回归 | 拟合时间序列数据的曲线 |
| 时间序列数据处理 | 递归分析 | 基于过去的值预测未来的值 |
下面是时间序列预测的 mermaid 流程图：
graph LR
A[收集时间序列数据] --> B[确保观测间隔相等]
B --> C[选择合适的模型]
C --> D[拟合模型]
D --> E[进行预测]
通过使用合适的算法和技术，我们可以更好地理解和处理网络数据和时间序列数据，为实际应用提供有力的支持。
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