15、投票规则验证：理论、方法与实践

投票规则验证：理论、方法与实践

1. 引言

社会选择函数（特别是投票规则）是现代民主的核心，它们常以算法形式呈现，用于实现权力从民众向政府的转移。这些函数复杂度各异，行为和属性也不尽相同。对于科学家而言，它们是研究的理想对象；但对于选民来说，理解其行为和属性却颇具难度。

程序验证技术基于形式逻辑和演绎推理，为算法及其属性分析提供了强大工具。近年来，软件验证方法和工具的能力大幅提升，在软件和协议开发早期就能发现设计错误。然而，将形式程序验证与社会选择理论相结合的工作却相对较少。

本文聚焦软件有界模型检查（SBMC）技术，它通过在有限搜索空间中寻找反例，静态分析投票规则的实现。SBMC工具全自动、快速且易用，但只能识别有界范围内的反例。程序验证在社会选择研究中的作用基于公理化方法，而阿罗不可能定理表明完美的投票规则并不存在，因此开发满足特定公理属性的投票规则颇具挑战。

2. 基于逻辑的属性形式化

2.1 基本定义：选票、概况和投票规则

我们考虑的投票规则是将选民的个人偏好汇总以产生选举结果。为简化表述，假设每个选民只投一票，选票是对候选方案的（部分）线性排序。

定义如下：
- 设 $N = {1, \ldots, n}$ 为有限选民集，$A$ 为有限候选方案集，$W$ 为可能的选举结果集。
- 选票是 $A$ 上的（部分）线性序 $\succ_i$，概况 $\langle\succ_1, \ldots, \succ_i\rangle$（$i \leq n$）是每个选民的选票序列。所有可能选票的集合记为 $B$，所有可能概况的集合记为 $B^ $。
- 投票规