4、席位分配与政治分区的数学原理

席位分配与政治分区的数学原理

1. 引言

席位分配和政治分区是选举系统研究中的两个主要话题。离散数学和组合优化的模型与算法被用于将这些问题形式化，并找到符合公平要求的解决方案。席位分配主要涉及在政治选举中为各政党分配议会席位，而政治分区则是设计选举区，确保每个选民被唯一分配到一个选区。这两个问题都具有重要意义，因为它们直接影响选举结果的公平性和代表性。

2. 双比例分配问题

2.1 比例分配

在讨论双比例分配问题之前，先介绍简单的比例分配问题，即将议会的固定席位在各选区之间进行分配。在几乎所有国家，分配给每个选区的席位需与该选区的人口成比例，但也有例外，如欧洲议会采用了所谓的递减比例要求。

理想情况下，可通过公式 (q_i = \frac{p_i H}{P}) 为每个选区分配席位，但 (q_i) 通常是小数，需要进行四舍五入。常见的四舍五入方法是最大余数规则，也称为汉密尔顿、文顿、黑尔或黑尔 - 尼迈耶方法。该方法先为每个选区分配 (\lfloor q_i \rfloor) 个席位，然后将剩余席位分配给余数最大的选区。虽然这种方法简单且具有最小范数性质，但也存在一些问题，如考虑绝对偏差而非相对偏差，容易出现阿拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论等异常行为，因此在许多国家不被采用，不过在意大利，最大余数规则被写入宪法。

为避免这些悖论，可采用除数方法。除数方法通过定义一个路标函数 (\delta(z)) 来指定如何对实数进行四舍五入。常见的除数方法包括亚当斯方法、迪恩方法、亨廷顿 - 希尔方法、韦伯斯特方法和杰斐逊或德洪特方法。其中，亚当斯方法有利于小选区，而杰斐逊方法则相反，亨廷顿 - 希尔方法目前用于分配美国众议院的