33、算法问题与最近点对问题解析

算法问题与最近点对问题解析

1. 算法相关问题概述

在算法分析中，有许多与递归关系和算法复杂度相关的问题值得探讨。以下是一系列相关问题及分析：
- 排序算法证明与递归次数计算
- 给定一个输入序列，要求使用数学归纳法证明排序操作能输出一个所有零在所有一之前的重排序列，基础步骤为序列元素个数(n = 1)。设(b_n)表示输入序列包含(n)个元素时排序操作被调用的次数。
- 对于(b_1)，当输入序列只有(1)个元素时，排序操作调用(1)次，即(b_1 = 1)。
- 对于(b_2)，需要根据具体排序规则确定调用次数，假设排序规则下调用(2)次，则(b_2 = 2)。
- 对于(b_3)，同理假设调用(3)次，则(b_3 = 3)。
- 接着要写出(b_n)的递归关系，并求解该递归关系，以确定排序算法的运行时间。在(\Theta)表示法下，分析排序算法的运行时间与输入序列元素个数(n)的函数关系。
- 递归关系求解
- 对于递归关系(a_n = 3a_{\lfloor n/2\rfloor}+ n)（(n > 1)，且(n)是(2)的幂，(a_1 = 1)），需要求解该递归关系，并证明(a_n = \Theta(n^{\lg 3}))。
- 其他算法递归关系
- 对于一个接受序列(s_i, \cdots, s_j)作为输入的算法，如果(j > i)，则递归求解子问题(s_i, \cdots, s_{\lfloor (i + j)/2\rfloor})和(s_{\lfloor (i + j)/2 +