32、递归关系与算法分析

递归关系与算法分析

1. 递归关系问题引入

在一些实际场景中，会遇到递归关系的问题。例如，有若干人订购光盘，名字和订单代码录入电子表格后，名字排序但订单代码未变，导致无人收到正确光盘。设 (D_n) 表示 (n) 个人都收到错误订单的方式数，要证明序列 (D_1, D_2, \cdots) 满足递归关系 (D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2}))。

2. 问题分析与求解

• 具体例子分析
  • 当 (n = 1) 时，一个人必然收到正确订单，所以 (D_1 = 0)。
  • 当 (n = 2) 时，有一种方式让所有人收到错误订单，即人 1 收到订单 2，人 2 收到订单 1，所以 (D_2 = 1)。
  • 当 (n = 3) 时，人 1 收到订单 2 或 3。若人 1 收到订单 2，人 2 不能收到订单 1，只能收到订单 3，人 3 收到订单 1，即 (2, 3, 1)；若人 1 收到订单 3，人 3 不能收到订单 1，只能收到订单 2，人 2 收到订单 1，即 (3, 1, 2)，所以 (D_3 = 2)。验证递归关系：(D_3 = 2 = 2(1 + 0) = (3 - 1)(D_2 + D_1))。
  • 当 (n = 4) 时，人 1 收到订单 2、3 或 4。若人 1 收到订单 2，若人 2 收到订单 1，则人 3 收到订单 4，人 4 收到订单 3，即 (2, 1, 4, 3)；若人 2 不收到订单 1，有 (2, 3, 4, 1) 和 (2, 4, 1, 3) 两种情况。同理，人 1 收到