31、递归关系的求解与分析

递归关系的求解与分析

1. 递归关系的基本概念

递归关系是数学中用于描述序列的一种重要方式，通过一个序列中某一项与其前面若干项的关系来定义整个序列。例如，Lucas 序列 (L_n) 定义为：
- 递归关系：(L_n = L_{n - 1} + L_{n - 2})，(n \geq 3)
- 初始条件：(L_1 = 1)，(L_2 = 3)

我们可以根据这个定义计算出 (L_3 = L_2 + L_1 = 3 + 1 = 4)，(L_4 = L_3 + L_2 = 4 + 3 = 7)，(L_5 = L_4 + L_3 = 7 + 4 = 11)。

另外，还有一些特殊的递归关系，如 Stirling 数的递归关系：
- 第一类 Stirling 数：(s_{n + 1, k} = s_{n, k - 1} + ns_{n, k})
- 第二类 Stirling 数：(S_{n + 1, k} = S_{n, k - 1} + kS_{n, k})

2. 上升/下降排列与欧拉数

上升/下降排列是一种特殊的排列方式，对于排列 (p) 满足：
- 当 (i = 1, 3, 5, \cdots) 时，(p(i) < p(i + 1))
- 当 (i = 2, 4, 6, \cdots) 时，(p(i) > p(i + 1))

例如，(1, 2, 3, 4) 的上升/下降排列有 (1, 3, 2, 4)；(1, 4, 2, 3)；(2, 3, 1, 4)；(2, 4, 1, 3)；(3, 4, 1, 2) 这五种。用 (E_n) 表示 (1, 2, \cd