29、二项式系数、组合恒等式与鸽巢原理

二项式系数、组合恒等式与鸽巢原理

1. 概率问题引入

在概率问题中，我们常常会遇到各种事件的概率计算。例如，设事件(A)表示“计算机从Acme购买”，(D)表示“计算机从Dot - Com购买”，(N)表示“计算机从Nuclear购买”，(B)表示“计算机有缺陷”。这里就涉及到求(P(A))、(P(D))、(P(N))，(P(B | A))、(P(B | D))、(P(B | N))，(P(A | B))、(P(D | B))、(P(N | B))以及(P(B))等问题。

还有一些有趣的概率推理问题，比如有人担心飞机上有炸弹，估计飞机上有炸弹的概率为(0.000001)，然后计算飞机上有两个炸弹的概率为(0.000001^2 = 0.000000000001)，就认为自己带一个炸弹能保证安全，这种推理显然是错误的。另外，一个田径爱好者尝试完成东 - 南 - 东马拉松，每次完成的概率是(\frac{1}{3})，认为三次尝试后完成的概率是(0.9999)，这种推理也是不准确的。

2. 二项式定理

2.1 二项式展开

乍一看，表达式((a + b)^n)与组合似乎没什么关系，但实际上我们可以通过(n)个对象的(r) - 组合数公式来得到((a + b)^n)的展开式。

以((a + b)^3)为例，它等于((a + b)(a + b)(a + b))，展开过程是从每个因子中选择(a)或(b)，然后将选择的结果相乘，最后将所有乘积相加。具体如下表所示：
| 第一个因子((a + b))的选择 | 第二个因子((a + b))的选择 | 第三个因子((a + b))的选择 | 选择的乘积 |
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