25、计数问题的解决方法与排列组合知识

计数问题的解决方法与排列组合知识

1. 容斥原理相关问题

1.1 三个有限集的容斥原理证明

要证明三个有限集的容斥原理：(\vert X\cup Y\cup Z\vert = \vert X\vert + \vert Y\vert + \vert Z\vert - \vert X\cap Y\vert - \vert X\cap Z\vert - \vert Y\cap Z\vert + \vert X\cap Y\cap Z\vert)。
提示是将两个有限集的容斥原理(\vert A \cup B\vert = \vert A\vert + \vert B\vert - \vert A \cap B\vert)，令(A = X)，(B = Y \cup Z)。

1.2 学生选课问题应用容斥原理

在一个有 191 名学生的群体中，10 人同时选修法语、商业和音乐；36 人选修法语和商业；20 人选修法语和音乐；18 人选修商业和音乐；65 人选修法语；76 人选修商业；63 人选修音乐。
可使用三个有限集的容斥原理来确定有多少学生三门课程都不选。

1.3 整数倍数问题应用容斥原理

计算 1 到 10000（包含两端）之间是 3 或 5 或 11 或它们任意组合的倍数的整数个数，同样可使用三个有限集的容斥原理。

2. 计数问题的解决案例

2.1 问题提出

求满足(X_1 \cup X_2 \cup X_3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8})且(X_1 \cap X_2 \cap X_3 = \varnot