18、算法分析：从基础到应用

算法分析：从基础到应用

1. 算法问题与任务

在算法的世界里，我们面临着各种各样的问题和任务。比如，给定一个包含 n 个元素的集合 X ，其中部分元素标记为“红色”，部分标记为“黑色”，我们需要找出 X 中至少包含一个红色元素的子集数量。为了解决这个问题，我们可以构建一个算法，该算法会检查 X 的所有子集，并统计包含至少一个红色元素的子集数量。

这里还涉及到一系列算法相关的任务，例如：
- 追踪算法执行过程，像追踪某个算法对于输入 34, 57, 72, 101, 135 的执行情况。
- 判断算法是否能对特定输入进行排序，如判断算法是否能将输入 67, 32, 6, 89, 52 按升序或降序排序。
- 编写特定功能的算法，如返回序列中某个值首次出现的索引、最后一次出现的索引，以及将一个值插入到非递减序列中使新序列仍保持非递减顺序等。

2. 算法时间分析的重要性

一个计算机程序，即使基于正确的算法，也可能因某些类型的输入而变得无用。这是因为运行程序所需的时间或存储数据、程序变量等所需的空间可能过大。算法分析就是推导执行算法所需时间和空间估计的过程，这里我们主要关注执行算法所需时间的估计。

例如，对于前面提到的找出集合子集数量的算法，由于一个有 n 个元素的集合有 2^n 个子集，程序执行至少需要 2^n 个时间单位。随着 n