22、动态规划：解决复杂问题的强大工具

动态规划：解决复杂问题的强大工具

1. 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种强大的算法设计技术，广泛应用于解决复杂问题。它通过将问题分解为更小的子问题，并保存这些子问题的解以避免重复计算，从而有效地解决问题。动态规划不仅提高了算法的效率，还简化了问题的解决过程。

动态规划特别适用于以下两种情况：
- 重叠子问题 ：当一个问题可以分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠时，使用动态规划可以避免重复计算。
- 最优子结构 ：当一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解构造时，动态规划可以递归地找到全局最优解。

2. 动态规划的特点

2.1 重叠子问题

重叠子问题是动态规划的一个关键特性。许多复杂问题可以通过递归来解决，但在递归过程中，相同的子问题会被多次计算。为了避免这种冗余计算，动态规划采用了一种称为“记忆化”的技术，即将已经计算过的子问题结果保存起来，以便下次直接使用。

2.2 最优子结构

最优子结构是指一个问题的最优解可以由其子问题的最优解构造而成。换句话说，如果我们可以找到每个子问题的最优解，那么通过组合这些子问题的最优解，我们就可以得到原始问题的最优解。

3. 动态规划的应用

动态规划在许多实际问题中都有广泛应用。以下是几个典型的例子：

3.1 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）

最长公共子序列问题是一个经典的动