选择与除法(唯一分解定理+阶乘质因子分解技巧+Eratosthenes筛法求素数)

选择与除法

已知C(m,n) =m!/(n!(m-n)!)，输入整数p, q，1,s ( p=q , r2s , p.q ,7,s≤10000 ) ,计算C(p,q)/C(r,s)。输出保证不超过10⁸，保留5位小数。

【分析】
1．预处理素数表，分解每一个1~10000²．
2．将乘除法变成素数指数的加减法(唯一分解定理)
C(p,q)/C(r,s)​​=p!s!(r−s)!​/r!q!(p-q)!

值得注意的是可以通过阶乘质因子分解公式来提高我们的效率。
阶乘质因子分解公式：N的阶乘的质因子m的指数：X = [N/m] +[N/m^2] +[N/m^3] +…+[N/m^(logm N)(注意，每个[ ]都取整数部分。直到N/m^(logm N)结束

比如当m=2时，

X = [N/2] +[N/2^2] +[N/2^3] +…，[N/2]表示不大于N的数中2的倍数贡献一个2，[N/2²]表示不大于N的数中2^2的倍数贡献两个2。代码如下：

ret = 0;
while(N)
{
ret += N / 2;
N /= 2;
}

这里使用的是Eratosthenes筛法求素数。（嗯，才10000，挺快的）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <iomanip>
using namespace std;
const int  max_su = 10010;
vector<int> is_shusu(max_su + 1, 1);
vector<int> shusu;
vector< vector<int> > zhi_index(max_su, vector<int>(6));

int Zhi(int jiecheng, int su)
{
	int res = 0;
	
	while (jiecheng)
	{
		res += jiecheng / su;
		jiecheng /= su;
		
	}
	return res;
}
int main()
{

	for (int i = 2; i < max_su; i++)
	{
		if (is_shusu[i])
		{
			shusu.push_back(i);
			for (int j = i * i; j < max_su; j += i)
			{
				is_shusu[j] = false;
			}
		}
	}
	int p, q, r, s;
	cin >> p >> q >> r >> s;
	zhi_index[0][0] = p, zhi_index[0][1] = s, zhi_index[0][2] = r - s;
	zhi_index[0][3] = r, zhi_index[0][4] = q, zhi_index[0][5] = p - q;
	//
	for (int i = 0; i < 6; i++)
	{
		for (int j = 0; shusu[j] <= zhi_index[0][i]; j++)
		{
			
			zhi_index[shusu[j]][i] = Zhi(zhi_index[0][i], shusu[j]);
			
		}
	}

	for (int j = 0; j < shusu.size(); j++)
	{		
	 	    zhi_index[j][0] = zhi_index[shusu[j]][0] + zhi_index[shusu[j]][1] + zhi_index[shusu[j]][2]
			- zhi_index[shusu[j]][3] - zhi_index[shusu[j]][4] - zhi_index[shusu[j]][5];		
	}
	double rse = 1.0;
	for (int i = 0; i < shusu.size(); i++)
	{
		rse *= pow(shusu[i], zhi_index[i][0]);
	}
	cout.setf(ios::fixed);
	cout << setprecision(5)<< rse;
	//10 5 14 9
	return 0;
}