HDU - 3507（斜率DP优化）

最新推荐文章于 2021-03-16 21:24:00 发布

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本文介绍了一种使用斜率优化技巧解决大规模动态规划问题的方法，针对特定形式的DP方程，通过优化计算复杂度实现高效求解。适用于处理大规模数据集，特别是当状态转移方程中包含二次项时。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解:用dp[i] = min(dp[i],dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M)来动态规划但是n有50W一个一个试肯定超时,

但是对于形如

dp[i]=min{dp[j]+f(i,j)}

的方程，无法做到O(1)计算dp[j]+f(i,j)的最小值，这时就需要斜率优化这个技巧来解决这个问题了。
令k < j < i，当我们更新dp[i]时，如果有dp[j] + f(i, j) 比dp[k] + f(i, k)更优，则有dp[j] + f(i, j) - (dp[k] + f(i, k) < 0，对于这个不等式如果能够化解成如下形式：Y(j)−Y(k)/(X(j)−X(k))<f(i)就能够用斜率优化

优化方法：Y[j]-Y[k]/(X[j]-X[k]) <Y[i]-Y[k]/(X[i]-X[k])，就可以把j删掉用i代替最后用一个队列维护一下即可

而此题的方程可以变为

((dp[j]+sum[j])^2−(dp[k]+sum[k])^2)/(sum[j]−sum[k])<2sum[i]

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int mx = 5e5+5;
ll a[mx];
ll dp[mx];
ll sum[mx];
deque<int>q;
ll slope(int j,int k){
    ll s = dp[j]-dp[k]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k];
    return s;
}
void erase_front(int i){
    while(q.size()>=2){
        int a = q.front();
        q.pop_front();
        int b = q.front();
        if(slope(b,a)>2*sum[i]*(sum[b]-sum[a])){
            q.push_front(a);
            return;
        }
    }
}
void insert(int i){
    while(q.size()>=2){
        int a = q.back();
        q.pop_back();
        int b = q.back();
        if(slope(a,b)*2*(sum[i]-sum[b])<slope(i,b)*2*(sum[a]-sum[b])){
            q.push_back(a);
            break;
        }
    }
    q.push_back(i);
}
int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        sum[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            sum[i] = sum[i-1]+a[i];
        }
        dp[0] = 0;
        while(!q.empty())
            q.pop_back();
        q.push_back(0);
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            erase_front(i);
            int j = q.front();
            dp[i] = dp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;
            insert(i);
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}