题解:用dp[i] = min(dp[i],dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M)来动态规划但是n有50W一个一个试肯定超时,
但是对于形如
dp[i]=min{dp[j]+f(i,j)}
的方程,无法做到O(1)计算dp[j]+f(i,j)的最小值,这时就需要斜率优化这个技巧来解决这个问题了。
令k < j < i,当我们更新dp[i]时,如果有dp[j] + f(i, j) 比dp[k] + f(i, k)更优,则有dp[j] + f(i, j) - (dp[k] + f(i, k) < 0,对于这个不等式如果能够化解成如下形式 :Y(j)−Y(k)/(X(j)−X(k))<f(i)就能够用斜率优化
优化方法:Y[j]-Y[k]/(X[j]-X[k]) <Y[i]-Y[k]/(X[i]-X[k]),就可以把j删掉用i代替最后用一个队列维护一下即可
而此题的方程可以变为
((dp[j]+sum[j])^2−(dp[k]+sum[k])^2)/(sum[j]−sum[k])<2sum[i]
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int mx = 5e5+5;
ll a[mx];
ll dp[mx];
ll sum[mx];
deque<int>q;
ll slope(int j,int k){
ll s = dp[j]-dp[k]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k];
return s;
}
void erase_front(int i){
while(q.size()>=2){
int a = q.front();
q.pop_front();
int b = q.front();
if(slope(b,a)>2*sum[i]*(sum[b]-sum[a])){
q.push_front(a);
return;
}
}
}
void insert(int i){
while(q.size()>=2){
int a = q.back();
q.pop_back();
int b = q.back();
if(slope(a,b)*2*(sum[i]-sum[b])<slope(i,b)*2*(sum[a]-sum[b])){
q.push_back(a);
break;
}
}
q.push_back(i);
}
int main(){
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
sum[0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
scanf("%lld",&a[i]);
sum[i] = sum[i-1]+a[i];
}
dp[0] = 0;
while(!q.empty())
q.pop_back();
q.push_back(0);
for(int i = 1; i <= n; i++){
erase_front(i);
int j = q.front();
dp[i] = dp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;
insert(i);
}
printf("%lld\n",dp[n]);
}
return 0;
}