差分方程与exp(At)

这篇文章的主题是“解耦”

如下面这个不等式，其中u是t的函数，且有

上式中和相互作用，这种关系就是耦合，我们的任务就是解除二者之间这种纠结的关系，至于解耦的好处不必多说了，大家能罗列许多。

为了解决这个问题，需要介绍以下知识：

（1）差分方程

其中是列向量，是矩阵

以一个简单的矩阵为例

很容易观察到，A的迹（trace）为-3，A是奇异矩阵（singular），所以，矩阵A有一个特征值0，还有一个特征值-3，微分方程的解具有如下的形式

其中lambda(1)=0,lambda(2)=-3,x1和x2分别是对应的特征向量。我们可以将u(t)带入原式就可以知道，这是满足方程的解，由此我们得到了和两个没有耦合关系的项，这样我们就实现了“解耦”

继续往下走，

由于，所以由对应系数相等我们可以解得

c1=c2=1/3，所以有

当t趋近于无穷大时，exp(-3t)=0，所以

上述描述了由本文最开始给出的差分方程所构建的系统的稳态。

（2）应用对角化方法

再次回到差分方程

在上面的解答步骤中我们可以得到

、

写成矩阵的形式如下

简记为Sc=u(0)，其中S是特征向量所构成的矩阵。在方程中，u1和u2二者是耦合的关系，我们使用对角化方法，设u=Sv，其中S是对角阵，将具有耦合关系的u1和u2转为解耦的v1和v2，其中S是特征向量构成的矩阵，这很容易让人联想到矩阵的对角化，没有错，这里用的就是这个知识点。我们将u(t)=Sv(t)代入式中，得到，

所以，

（3）矩阵指数函数

我们知道下面这两个泰勒级数

我们可以把矩阵指数函数exp(At)看成上面的第一个泰勒级数展开式

同理，I-At的倒数也可以写成如下的形式

如果矩阵A可以对角化（这个是前提），那么其中，是对角阵，对角线元素是矩阵A的特征值，且有

这个证明很容易，这里就不再累述。

我们如何看待这个式子呢，当A的特征值lambda(i)小于0时，exp(labmda(i)*t)在t趋近于无穷大时会收敛于0，趋于稳定，因此，如果一个系统由差分方程的形式给出时，我们需要考虑的是系统矩阵的特征值的实部，而虚部由欧拉公式展开可知其模为1，就是一个单位圆，Strang教授把虚部看成是小噪音，它只是一个在单位圆的圆周上绕转而已，而真正决定系统稳态的是实部，当实部为负数时，其矩阵指数函数最终会收敛。

最后一个要提的问题是，我们前面说的是2阶的系统，如果是更高阶的，比如系统由这样一个高阶方程表示

那怎么办呢，这里使用的小技巧是

设，那么有，这样问题就得到了解决。对于更高阶的，系统矩阵A具有下面这样的形式

（这里假定是五阶系统）

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