Juju and Binary String（前缀和）

最新推荐文章于 2025-12-28 18:00:24 发布

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#图论 #算法 #leetcode

本文解析了Codeforces F题的解决思路，通过环状数组处理和前缀和优化，找到符合条件的子串，实现字符串权值匹配。

Juju and Binary String

[Link](Problem - F - Codeforces)

题意

给你一个 $01$ 串 $s t r$ 长度为 $n$ ，这个串的权定为 $\frac{ones}{n}(ones为1的数量)$ 。现在需要让你选择若干不相交的子串使得满足所有子串的长度和为 $m$ 且将子串拼接起来后的串 $t$ 的权和原串相同，问你最少需要多少个子串。

思路

首先 $t$ 中的 $1$ 的数量应该为 $\frac{ones}{n}m$ ，因为有整数个 $1$ 所以要满足 $ones\times m\equiv 0 (mod\ n)$ ，否则无解。

我们设 $x = t 中 1 的数量$ ，我们假设 $s t r$ 是一个环，如果一个连续长度为 $m$ 的子数组有 $x$ 个 $1$ 那么我们的答案就是 $1$ 或 $2$ ，不跨环即 $1$ ，跨环就是 $2$ 。

设 $c_i$ 为 $str[i...i+m-1]\ if\ \ i\le n - m + 1\ else\ \ str[1...m-(n-i+1)]+s[i...n]$ 中 $1$ 的数量，则有 $\vert c_{i+1}-c_i\vert \le 1$ ，因为 $c_{i+1}$ 和 $c_i$ 最多只有两位不同当且仅当这两位不同的时候 $\vert c_{i+1}-c_i\vert =1$ 。因此 $c_i\to c_{i+1}$ 的变化是不跳跃的即连续的。

证 $max(c_i)\ge x$ ：设 $max(c_i)<x$ ，则 $\sum_{i=1}^n c_i < nx$ ， $\sum_{i=1}^n c_i=m\times ones(每个1会出现m次)$ ，即 $m\times ones<nx\to x>\frac{ones}{n}m$ ，与 $x$ 的定义不同即不成立，所以 $max(c_i)\ge x$ 。

证 $min(c_i)\le x$ ：设 $min(c_i)>x$ ，则 $\sum_{i=1}^{n}c_i>x\to m\times ones >nx \to x<\frac{ones}{n}m$ ，与 $x$ 的定义不同不成立，所以 $min(c_i)\le x$ 。

所以 $min(c_i)\le x \le max(c_i)$ ，并且 $c_i$ 是连续的，所以必定存在一个 $c_j==x$ ，因此答案不是 $1$ 就是 $2$ 。

前缀和处理一下，对于大于等于 $m$ 的每个点判断一下是否成立即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8, pi = acos(-1), inf = 1e20;
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int v = 0) {
    e[idx] = b, w[idx] = v, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int n, m, k;
int a[N];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- ) {
        cin >> n >> m;
        string str; cin >> str;
        int ones = 0;
        for (auto x : str)
            if (x == '1') ones ++;
        if ((LL)ones * m % n) {
            cout << "-1\n";
            continue ;
        }

        ones = (LL)ones * m / n;
        vector<int> s(n * 2 + 1);
        for (int i = 1; i <= n * 2; i ++) {
            s[i] = s[i - 1] + (str[(i - 1) % n] == '1');
            if (i >= m && s[i] - s[i - m] == ones) {
                if (i <= n) {
                    cout << 1 << '\n';
                    cout << i - m + 1 << ' ' << i << '\n';
                    break;
                }
                else {
                    cout << 2 << '\n';
                    cout << 1 << ' ' << i - n << '\n';
                    cout << n - (m - i + n) + 1 << ' ' << n << '\n';
                    break;
                }
            }
        }

    }
    return 0;
}