Juju and Binary String（前缀和）

Juju and Binary String

[Link](Problem - F - Codeforces)

题意

给你一个$01$串$str$长度为$n$，这个串的权定为$\frac{ones}{n}(ones为1的数量)$。现在需要让你选择若干不相交的子串使得满足所有子串的长度和为$m$且将子串拼接起来后的串$t$的权和原串相同，问你最少需要多少个子串。

思路

​ 首先$t$中的$1$的数量应该为$\frac{ones}{n}m$，因为有整数个$1$所以要满足$ones\times m\equiv 0(modn)$，否则无解。

​ 我们设$x=t中1的数量$，我们假设$str$是一个环，如果一个连续长度为$m$的子数组有$x$个$1$那么我们的答案就是$1$或$2$，不跨环即$1$，跨环就是$2$。

​ 设$c_i$为$str[i...i+m-1]ifi\le n-m+1elsestr[1...m-(n-i+1)]+s[i...n]$ 中$1$的数量，则有$|c_{i+1}-c_i|\le 1$，因为$c_{i+1}$和$c_i$最多只有两位不同当且仅当这两位不同的时候$|c_{i+1}-c_i|=1$。因此$c_i\to c_{i+1}$的变化是不跳跃的即连续的。

​ 证$max(c_i)\ge x$：设$max(c_i)<x$，则${\sum }_{i=1}^n{c}_i<nx$，${\sum }_{i=1}^n{c}_i=m\times ones(每个1会出现m次)$，即$m\times ones<nx\to x>\frac{ones}{n}m$，与$x$的定义不同即不成立，所以$max(c_i)\ge x$。

​ 证$min(c_i)\le x$：设$min(c_i)>x$，则${\sum }_{i=1}^n{c}_i>x\to m\times ones>nx\to x<\frac{ones}{n}m$，与$x$的定义不同不成立，所以$min(c_i)\le x$。

​ 所以$min(c_i)\le x\le max(c_i)$，并且$c_i$是连续的，所以 必定存在一个$c_j==x$，因此答案不是$1$就是$2$。

​ 前缀和处理一下，对于大于等于$m$的每个点判断一下是否成立即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8, pi = acos(-1), inf = 1e20;
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int v = 0) {
    e[idx] = b, w[idx] = v, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int n, m, k;
int a[N];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- ) {
        cin >> n >> m;
        string str; cin >> str;
        int ones = 0;
        for (auto x : str)
            if (x == '1') ones ++;
        if ((LL)ones * m % n) {
            cout << "-1\n";
            continue ;
        }

        ones = (LL)ones * m / n;
        vector<int> s(n * 2 + 1);
        for (int i = 1; i <= n * 2; i ++) {
            s[i] = s[i - 1] + (str[(i - 1) % n] == '1');
            if (i >= m && s[i] - s[i - m] == ones) {
                if (i <= n) {
                    cout << 1 << '\n';
                    cout << i - m + 1 << ' ' << i << '\n';
                    break;
                }
                else {
                    cout << 2 << '\n';
                    cout << 1 << ' ' << i - n << '\n';
                    cout << n - (m - i + n) + 1 << ' ' << n << '\n';
                    break;
                }
            }
        }

    }
    return 0;
}