2021-04-15

 

 ####二元一次方程
 $
平方差公式 :(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\
立方差公式: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
 完全平方公式:（a\pm b）^{2}=a^2\pm2ab+b^2\\
$
$
同底数幂的除法法则: a^m+a^n=a^{m-n}
任何数的零次幂等于0\\
a^{-p}=\frac {1}{a^p}
$
####因式分解
$
提公因式法:
x^3-2x^2-x=x(x^2-2x-1)\\
应用公式法:
a^2+4ab+4b2=(a+2b)^2\\
分组分解法:
m^2+5n-mn-5m=(m^2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)\\
十字相乘法: 7x^2 -19x-6\\  
 分析 :1 ×7=7,   2×(-3)= -6  1×2+7×(-3)=-19\\  
解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3)
$
####函数
**函数的几种特性:**
(1).函数的有界性
(2) 函数的单调性
(3)函数的奇偶性
(4).函数的周期性
反函数与复合函数

$对每个y\in f(D),有唯一的x\in D,使得f(x)=y,于是有 f^{-1}(y)=x$
**直线方程的点斜式**
$
如果已知直线通过点(x_0,y_0),斜率为m,则y-y_0=m(x-x_0)\\
如果一条直线通过点(x_1,y_1)和（x_2,y_2）,则它的斜率等于\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}
$

####三角函数
||0 | $\frac π6$  |$\frac π4$ | $\frac π3$ |$\frac π2$|
|- |-|-|-|-|-|-|
|sin|0|$\frac 12$|$\frac1{\sqrt{2}}$|$\frac {\sqrt3}{2}$|$1$|
|cos|1|$\frac{\sqrt3}2$|$\frac1{\sqrt2}$|$\frac12$|0|
|tan|0|$\frac1{\sqrt3}$|1|$\sqrt3$|$\bigstar$|

cos(x)和sec(x)都是偶函数

####三角恒等式:
$tan(x)=\frac {sin(x)} {cos(x)}  cot(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)} \\
1+tan^2(x)=sec^2(x)\\
cot^2(x)+1=csc^2(x)\\
sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)\\
cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)\\
sin(2x)=2sin(x)cos(x)\\
cos(2x)=2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x)
$

####$x \rightarrow a平方根的极限$
a-b的共轭表达式a+b
$
\lim\limits_{x\rightarrow5} \frac{ \sqrt [2]{x^2-9} -4}{x-5} =\lim\limits_{x\rightarrow5} \frac{ \sqrt [2]{x^2-9} -4}{x-5} \times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4}
$
使用公式
$（a-b)(a+b)=a^2-b^2,分子可化简为(\sqrt{x^2-9})^2-4^2即x^2-25$
$
\lim\limits_{x\rightarrow5} \frac{x^2-25}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}=5/4
$

####$x\rightarrow\infty 时的有理函数的极限$
$
\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{2x+3}{x^2-7}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{2x+3}{2x}\times (2x)}{\frac{x^2-7}{x^2} \times (x^2)}=
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\frac{1+\frac{3}{2x}}{1-\frac{7}{x^2}})\times \frac{2x}{x^2}=
\frac{1+0}{1-0}\times \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac2x=0\\
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac {p(x)}{q(x)}\\
(1)如果p的次数等于q的次数，则极限是有限的且非零\\
(2)如果p的次数大于q的次数，则极限是\infty或 -\infty\\
(3)如果p的次数小于q的次数，则极限是0
$
####$x\rightarrow \infty 时的多项式型函数的极限$
$
\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{16x^4+8}+3x
}{2x^2+6x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{\sqrt{16x^4+8}+3x}{4x^2}\times(4x^2)}{{\frac{2x^2+6x+1}{2x^2}}\times(2x^2)} \\
=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{\frac{16x^4+8}{16x^4}}+\frac{3x}{4x^2}}{\frac{2x^2+6x+1}{2x^2}} \times\frac{4x^2}{2x^2}=\\
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{8}{16x^4}}+\frac{3}{4x}}{1+\frac{6}{2x}+\frac{1}{2x^2}}\times \frac{4}{2}\\
=\frac{\sqrt{1+0}+0}{1+0+0}\times2=2
$

$$
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}
=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}\times\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}=\\
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{-5x^5}{(\frac{\sqrt[3]{27x^6+8x}}{\sqrt[3]{27x^6}}\times(3x^2))((\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{4x^3})\times(4x^3))}\\
把-5x^5,3x^2和4^3都提出来，得到
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{(\frac{\sqrt[3]{27x^6+8x}}{\sqrt[3]{27x^6}})(\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{4x^3})}\times\frac{-5x^5}{(3x^2)(4x^3)}=\\
\frac{1}{(\sqrt[3]{1+\frac{8}{27x^5}})(\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{5}{16x}}+\frac12)}\times\frac{-5x^5}{(3x^2)(4x^3)}=-\frac{5}{12}
$$

####$x \rightarrow-\infty的有理函数的极限$
$
由于xx\rightarrow-\infty,也就是2x^3是负的的，但是\sqrt{4x^6}是正的，所以必须将\sqrt{4x^6}化简为-2x^3
如果x<0,并且想写 \sqrt[n]{x^{某次幂}}=x^m，那么需要在x^m之前加一个负号的唯一情形是，n是偶的而m是奇的。\\
包含绝对值的函数的极限\\
\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x}=-1
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}=1
故双侧极限不存在
$