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最新推荐文章于 2024-08-26 13:06:34 发布

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分类专栏：动态规划

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探讨两人轮流从多堆石子中取石的游戏策略，分析针老师如何通过删除特定数量的石子堆来确保胜利，采用动态规划解决复杂度问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【问题描述】

针⽼师和⼩ C 在玩传统的取⽯⼦游戏，他们有 n 堆⽯⼦，第 i 堆⽯⼦
有 ai 个，两个⼈轮流操作，每次操作需要选择⼀堆⾮空的⽯⼦，然后取⾛
这堆⽯⼦⾥⾄少 1 颗⽯⼦，不能操作的⼈输，⼩ C 先⼿

现在针⽼师得到了⼀次作弊的机会：在游戏开始之前他可以动⽤膜法
删除某 k 堆⽯⼦，要求 k 是 d 的倍数，且 0 ≤ k < n。

针⽼师想知道，他有多少种作弊的⽅案，使得作弊后他⼀定必胜。

你只需要输出⽅案数对 $10^9 + 7$ 取模的值。

【输入格式】

第⼀⾏两个正整数 n, d。
第⼆⾏ n 个正整数，第 i 个正整数表⽰ ai

【输出格式】

输出⽅案数对 $10^9 + 7$ 取模的值。

【样例输入】

5 2
1 2 3 1 1

【样例输出】

【数据范围】

对于前 30% 的数据，有 $1 \leq n \leq 20$ 。
对于前 50% 的数据，有 $1 ≤ n ≤ 50，1 ≤ a_i ≤ 10^4$ 。
另有 20% 的数据，满⾜不同的 ai 最多只有 5 种。
对于 100% 的数据，有 $1 ≤ n ≤ 5 ∗ 10^5，1 ≤ d ≤ 10，1 ≤ ai ≤ 10^6， 1 ≤ ∑_{i=1}^n a_i ≤ 10^7。$

$s o l u t i o n$ :
朴素 $d p$ ： $f [i] [j] [k]$ 表示考虑了前 $i$ 个，选了 $x%d=jx\% d=j$ 个元素，异或和为 $k$ 的方案数。
复杂度 $O(nd \max\{a_i\})$
考虑优化，注意到一个重要的性质 $∑iai≤107\sum_ia_i\le 10^7$

我们考虑将 ${a_i\}$ 降序排序，考虑对于第 $i$ 个元素，找到最小的 $l$ 满足 $2^l>a_i$
那么我们知道此时的 $f [i] [j] [k]$ 中，如果 $k>=2^l$ ，那么必定是转移不到 $0$ 的，就有一个剪枝了

新复杂度？
记 $g (l, r)$ 表示值在 $[l, r]$ 中的数的个数
那么复杂度为
$O(d∗∑i=120cnt[2i−1,2i−1]∗2i)≈O(d∑i=120ai)O(d*\sum_{i=1}^{20}cnt[2^{i-1},2^i-1]*2^i)\approx O(d\sum_{i=1}^{20}a_i)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,j,k) for(int i = j;i <= k;++i)
#define repp(i,j,k) for(int i = j;i >= k;--i)
#define rept(i,x) for(int i = linkk[x],y = e[i].y;i;i = e[i].n,y = e[i].y)
#define P pair<int,int>
#define Pil pair<int,ll>
#define Pli pair<ll,int>
#define Pll pair<ll,ll>
#define pb push_back 
#define pc putchar
#define mp make_pair
#define file(k) memset(k,0,sizeof(k))
#define ll long long
int rd()
{
	int num = 0;char c = getchar();bool flag = true;
	while(c < '0'||c > '9') {if(c == '-') flag = false;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') num = num*10+c-48,c = getchar();
	if(flag) return num;else return -num;
}
const int p = 1e9+7;
int n,d,to;
int a[501000],bin[30];
int f[2][15][2010000];
inline void add(int &a,int b){a += b;if(a >= p) a -= p;}
int main()
{
	bin[0] = 1;rep(i,1,29) bin[i] = bin[i-1]<<1;
	n = rd();d = rd();
	rep(i,1,n) a[i] = rd(),to^=a[i];
	sort(a+1,a+n+1);reverse(a+1,a+n+1);	
	int mx = 29;
	while(bin[mx-1]>a[1]) mx--;
	f[0][0][to] = 1;
	rep(i,1,n)
	{
		if(bin[mx-1]>a[i]) mx--;
		rep(j,0,d-1) rep(k,0,bin[mx])
		{
			f[i&1][j][k] = 0;
	        add(f[i&1][j][k],f[!(i&1)][j?j-1:j+d-1][k^a[i]]);
	        add(f[i&1][j][k],f[!(i&1)][j][k]);
		}
	}
	printf("%d\n",f[n&1][0][0]-(n%d==0));
	return 0;
}