01背包问题(入门)

本文详细介绍了0-1背包问题的动态规划解决方案,通过状态转移方程阐述如何在有限背包容量下选择物品以获取最大价值,展示了代码实现和决策过程。

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N 件物品和一个容量为 V 的背包,每件物品有各自的价值且只能被选择一次,要求在有限的背包容量下,装入的物品总价值最大。

「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题,也是其余背包问题的基础。

动态规划是不断决策求最优解的过程,「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策,「0-1」正好代表不选与选两种决定。

   (1)状态f[i][j]定义:前 i 个物品,背包容量 j 下的最优解(最大价值):

          当前的状态依赖于之前的状态,可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策,有 N 件物品,则需要 N 次决策,每一次对第 i件物品的决策,状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。

(2)当前背包容量不够(j < v[i]),没得选,因此前 i 个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解:

         对应代码:f[i][j] = f[i - 1][j]。
(3)当前背包容量够,可以选,因此需要决策不选第 i 个物品:

        选:f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
        不选:f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值,因此以上两种情况取 max() 。
代码如下:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装,需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

作者:深蓝
链接:https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/1061/
来源:AcWing 

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