洛谷 ~ P1251 ~ 餐巾计划问题（拆点，最小费用最大流）

最新推荐文章于 2021-03-30 13:15:57 发布

张松超

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分类专栏：【网络流/二分图匹配】

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本文介绍了一种利用最小费用最大流算法解决特定问题的方法，通过构建特殊的网络模型，包括超级源点和超级汇点，来确保每日餐巾供应的同时最小化购买及清洁成本。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最小费用最大流求解：

把每天看做点，由于每天的餐巾有两种状态1.早上需要用干净的 2.晚上用完剩下脏的，所以进行拆点Xi(晚）和 Yi(早)，建立超级源点S，超级汇点T。题目中要求每天的餐巾够用，我们把每天早起Yi 往汇点T连一条流量为r[i]，花费为0的边，这条边的流量表示早上得到了多少餐巾，满流表示正好够用，那么早上的餐巾变为脏餐巾我们就不能用 Xi -> Yi 连边表示了，怎么办? 我们直接每天由 S 流出 r[i] 的流量到Yi 表示早上的餐巾变为脏餐巾。剩下的买餐巾，快洗，慢洗，和当天不洗留到下一天就都比较好想了。

建模如下：

从S向每个Yi连一条容量为无穷大，费用为p的有向边。（买餐巾）
从每个Yi向T连一条容量为ri，费用为0的有向边。（早上要用的餐巾）
从S向每个Xi连一条容量为ri，费用为0的有向边。（当天的脏餐巾）
从每个Xi向Xi+1(i+1<=N)连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。（不洗留到下一天）
从每个Xi向Yi+m(i+m<=N)连一条容量为无穷大，费用为f的有向边。（快洗）
从每个Xi向Yi+n(i+n<=N)连一条容量为无穷大，费用为s的有向边。（慢洗）

这样求最小费用最大流就是答案，最大流保证了 2 类型的边都满流即每天都有足够的餐巾，所以最小花费就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
    int from, to, cap, flow, cost;       //起点,终点,容量,流量,花费
    Edge(int u, int v, int c, int f, int w):from(u), to(v), cap(c), flow(f), cost(w) {}
};
struct MCMF
{
    int n, m;                //结点数,边数(包括反向弧),源点s,汇点t
    vector<Edge> edges;            //边表。edges[e]和edges[e^1]互为反向弧
    vector<int> G[MAXN];           //邻接表，G[i][j]表示结点i的第j条边在edges数组中的序号
    bool inq[MAXN];                //是否在队列中
    int d[MAXN];                   //Bellman-Ford
    int p[MAXN];                   //上一条弧
    int a[MAXN];                   //可改进量

    void init(int n)
    {
        this->n = n;
        edges.clear();
        for (int i = 0; i <= n; i++) G[i].clear();
    }
    void add_edge(int from, int to, int cap, int cost)
    {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0, cost));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0, -cost));
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m - 2);
        G[to].push_back(m - 1);
    }

    bool BellmanFord(int s, int t, int &flow, long long& cost)//构造分层网络
    {
        for (int i = 0; i <= n; i++) d[i] = INF;
        memset(inq, 0, sizeof(inq));
        d[s] = 0; inq[s] = true; p[s] = 0; a[s] = INF;

        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        while (!Q.empty())
        {
            int u = Q.front(); Q.pop();
            inq[u] = 0;
            for (int i = 0; i < G[u].size(); i++)
            {
                Edge& e = edges[G[u][i]];
                if (e.cap > e.flow && d[e.to] > d[u] + e.cost)
                {
                    d[e.to] = d[u] + e.cost;
                    p[e.to] = G[u][i];
                    a[e.to] = min(a[u], e.cap - e.flow);
                    if (!inq[e.to]) { Q.push(e.to); inq[e.to] = true; }
                }
            }
        }
        if (d[t] == INF) return false;
        flow += a[t];
        cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];
        for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from)
        {
            edges[p[u]].flow += a[t];
            edges[p[u]^1].flow -= a[t];
        }
        return true;
    }

    int Mincost_Maxflow(int s, int t, long long& cost)
    {
        int flow = 0; cost = 0;
        while (BellmanFord(s, t, flow, cost));
        return flow;
    }
}solve;

int N, r[MAXN], p, m, f, n, s;

int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; i++) scanf("%d", &r[i]);
    scanf("%d%d%d%d%d", &p, &m, &f, &n, &s);
    solve.init(2*N+2);
    int S = 0, T = 2*N+1;//超级源，超级汇
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        solve.add_edge(S, i, r[i], 0);//当天的脏餐巾
        solve.add_edge(i+N, T, r[i], 0);//早上要用的餐巾
        solve.add_edge(S, i+N, INF, p); //买的餐巾
        if(i+1 <= N) solve.add_edge(i, i+1, INF, 0);//脏的餐巾留到下一天
        if(i+m <= N) solve.add_edge(i, i+N+m, INF, f);//快洗
        if(i+n <= N) solve.add_edge(i, i+N+n, INF, s);//慢洗
    }
    long long cost = 0;
    int Max_Flow = solve.Mincost_Maxflow(S, T, cost);
    printf("%lld\n", cost);
    return 0;
}

/*
3
1 7 5
11 2 2 3 1
*/