什么是Pell方程
形如:
x
2
−
N
y
2
=
1
(
n
∈
Z
,
n
≠
0
)
x^2-Ny^2=1(n\in \mathbb{Z},n\not= 0)
x2−Ny2=1(n∈Z,n=0)
且N为奇非平方数
可以用平方差公式改写为：
(
x
+
N
y
)
(
x
−
N
y
)
=
1
(x+\sqrt{N}y)(x-\sqrt{N}y)=1
(x+Ny)(x−Ny)=1
如何技巧性的求解佩尔方程整数解
先了解一个定义和一个定理
定义：
设 r , s 为 整 数 ， 并 且 满 足 r 2 − N s 2 = T ( 其 中 N 为 非 平 方 数 ) , 则 称 α = r − s N 给 出 x 2 − N y 2 = T 的 解 设r,s为整数，并且满足r^2-Ns^2=T(其中N为非平方数),则称\alpha = r-s\sqrt N给出x^2-Ny^2 =T的解 设r,s为整数，并且满足r2−Ns2=T(其中N为非平方数),则称α=r−sN给出x2−Ny2=T的解
定理：
设 α = x 1 − y 1 N , β = x 2 − y 2 N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 的 解 ， 则 α β = A − B N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 = T 2 的 解 . 其 中 A = x 1 x 2 + N y 1 y 2 , B = x 1 y 2 + x 2 y 1 设\alpha=x_1-y_1\sqrt N,\beta=x_2-y_2\sqrt N给出方程x^2-Ny^2的解，则\alpha\beta=A-B\sqrt N给出方程x^2-Ny^2=T^2的解.其中A=x_1x_2+Ny_1y_2,B=x_1y_2+x_2y_1 设α=x1−y1N,β=x2−y2N给出方程x2−Ny2的解，则αβ=A−BN给出方程x2−Ny2=T2的解.其中A=x1x2+Ny1y2,B=x1y2+x2y1
手推详细证明：
(论文中比较跳跃，直接看的话可能要看一会，所以自己手推了一遍，有助于记忆)
则可以推广到：
若 α = x 1 − y 1 N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 = T 的 解 若\alpha=x_1-y_1\sqrt N给出方程x^2-Ny^2 =T的解 若α=x1−y1N给出方程x2−Ny2=T的解
则：
α n = x n − y n N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 = T n 的 解 \alpha^n=x_n-y_n\sqrt N给出方程x^2-Ny^2 =T^n的解 αn=xn−ynN给出方程x2−Ny2=Tn的解
举个例子：
解 方 程 x 2 − 10 y 2 = 1 解方程x^2-10y^2=1 解方程x2−10y2=1
很明显，3x3与10相差-1，根据推论可得
α = 3 − 10 给 出 了 x 2 − 10 y 2 = − 1 的 解 ， 则 根 据 α n 这 一 条 性 质 ， n = 2 即 可 得 出 , α 2 = ( 3 − 10 ) 2 = 19 − 6 10 给 出 了 方 程 x 2 − 10 y 2 = 1 的 解 \alpha=3-\sqrt {10}给出了x^2-10y^2=-1的解，则根据\alpha^n这一条性质，n=2即可得出,\alpha^2={(3-\sqrt{10})}^2=19-6\sqrt{10}给出了方程x^2-10y^2=1的解 α=3−10给出了x2−10y2=−1的解，则根据αn这一条性质，n=2即可得出,α2=(3−10)2=19−610给出了方程x2−10y2=1的解
参考文章：https://blog.youkuaiyun.com/liangzhaoyang1/article/details/53145994
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