双端队列BFS

双端队列BFS

一、描述

双端队列 $BFS$ 用于一张边权为 $1$ 或 $0$ 的图。在这样的图上，可以使用双端队列来进行计算。算法的整体框架与一般的广搜相似，只是在在每个节点沿分支拓展时稍作改变。如果这条分支边权为 $0$ ,则从对首入队，否则从队尾入队。这样能保证任意时刻队列中的节点对应的距离之都有 “两端性” 与 “单调性” ；

二、效率分析

算法中每个节点仅被访问一次，因为这是 $BFS$ 的特性，所以该算法的效率为 $O(N)$ ；

三、正确性证明

由于我们最终目标是求路径权值和，而权值为 $0$ 的边无论走多少条权值和依旧是 $0$ ,因此可以优先走权值为 $0$ 的边，更新与这些边相连的点 $x$ 的 $d[x]$ （从起点到 $x$ 的最小权值和），此时 $d[x]$ 一定是最小的，因为它是由尽可能多的权值为 $0$ 的边更新而来。所以在队列中取出的节点同时满足 “连通性” 和 “权值最小” ，因此每个节点仅需被更新一次。

四、例题

拖拉机

题目

题目描述

农场上有N(1 <= N <= 50,000)堆草，放在不同的地点上。FJ有一辆拖拉机，也在农场上。拖拉机和草堆都表示为二维平面上的整数坐标，坐标值在1…1000的范围内。拖拉机的初始位置与所有草堆不同。

FJ开拖拉机时，只能平行于坐标轴（即东、南、西、北四个方向），而且每次开动的一段必须是整数长度。

例如，他可以向北开2个单位长度，然后向东开3个单位长度。拖拉机不能开到草堆的位置。

请帮助FJ计算出最少要移动多少个草堆，他才能将拖拉机开回坐标原点。

拖拉机可以开到1…1000之外的地方去。

输入格式

第1行: 3个整数，即N 和拖拉机的初始位置 (x,y)

第2…1+N行: 每行2个整数，表示一堆草的位置 (x,y)

输出格式

第1行: FJ必须移动的最少的草堆的数量

思路

由于此题只有有草堆与没有草堆两种状态，所以考虑双端队列 $BFS$ ；

搜索扩展状态时将没有草堆的放队首，有草堆的放队尾即可；

当搜索到 $(0,0)$ 时，搜索结束；

代码

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define MAXN 1015
using namespace std;
int n, sx, sy;
bool flag[MAXN][MAXN], f[MAXN][MAXN];
int wayx[4] = { 0, 0, 1, -1 };
int wayy[4] = { 1, -1, 0, 0 };
struct point {
    int x, y, z;
} t;
int bfs(int sx, int sy, int ex, int ey) {
    deque < point > q;
    q.push_front( point ( { sx, sy, 0 } ) );
    f[sx][sy] = true;
    while (!q.empty()) {
        t = q.front();
        q.pop_front();
        int xr = t.x, yr = t.y, zr = t.z;
        if (xr == ex && yr == ey) {
            return zr;
        }
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int dx = xr + wayx[i], dy = yr + wayy[i];
            if (dx >= 0 && dx <= 1001 && dy >= 0 && dy <= 1001 && f[dx][dy] == false) {
                f[dx][dy] = true;
                if (flag[dx][dy] == true) {
                    q.push_back( point ( { dx, dy, zr + 1 } ) );
                } else {
                    q.push_front( point ( { dx, dy, zr } ) );
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &sx, &sy);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        flag[x][y] = true;
    }
    printf("%d", bfs(sx, sy, 0, 0));
    return 0;
}