图的最短路

图的最短路

一、定义

从图中某一顶点 (源点) 出发，到达另一顶点 (终点) 的所有路径中 (路径可能不存在或者存在不止一条) , 各边权值之和最小的路径，称为最短路径；

最短路径问题是图论的经典问题；

最短路径问题分为两类，

1. 求单个顶点和其他所有顶点的最短路径，称为单源最短路径问题 ;
2. 求所有顶点相互之间的最短路径，称为多源最短路径问题 ;

对于以上两类最短路径问题，都有相应的有效算法予以解决。

二、Floyd 算法

1. Floyd 算法

Floyd 算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法；

2. 特点

Floyd 算法用于计算多元最短路，可计算出现负边权时的最短路，实际应用中，很多题目不是求如何用 Floyd 求最短路，而是用 Floyd 的动态规划思想来解决类似 Floyd 的问题；

3. 实现

Floyd 算法基于动态规划方法，使用 dp 存放当前顶点之间的最短路径长度；

状态

$dp[k][i][j]$ 为前 $k$ 个节点中，顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的最短路径长度;

转移

在计算 $(i,j)$ 之间的最短路径时，目前 $(i,j)$ 之间的最短路径长度为 $dp[i][j]$ (此时 $i$ 和 $j$ 不一定是直接连接) ，发现 $i$ 可以通过 $k$ 结点到达 $j$ ；

得到如下状态转移方程

dp[k][i][j]=min{dp[k−1][i][j],dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j]} dp[k][i][j] = min \{dp[k - 1][i][j], dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j]\} dp[k][i][j]=min{dp[k−1][i][j],dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j]}

由于第一位 $k$ 只用了 $k$ 与 $k-1$ 所以 dp 数组可以进行滚动数组优化，优化掉 $k$ 维，则状态转移方程为

dp[i][j]=min{dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]} dp[i][j] = min \{dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]\} dp[i][j]=min{dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]}

转移时，先枚举 $k$ ，在枚举 $i,j$ ；

松弛操作

更新两点的最短路径又称为松弛操作；

在进行松弛操作时，若 $(i,k)$ 与 $(k,j)$ 之间无边，那么 $dp[i][k]=dp[k][j]=INF$ 此时若 $INF$ 取 $0x7ffffff$ ，那么 $dp[i][k]+w[k][j]$ 就会溢出变成负数，此时松弛操作便会出错，准确来说， $0x7fffffff$ 不能满足无穷大加一个有穷的数依然是无穷大，而是变成了一个很小的负数；

因此，可以选用 $0x3f3f3f3f$ ， $0x3f3f3f3f$ 的十进制是 $1061109567$ ，是 $10^9$ 级别的，与 $0x7fffffff$ 一个数量级，而一般场合下的数据都是小于 $10^9$ 的，所以它可以作为无穷大使用而不致出现数据大于无穷大的情形；

另一方面，由于一般的数据都不会大于 $10^9$ ，所以当我们把无穷大加上一个数据时，它并不会溢出，事实上 $0x3f3f3f3f+0x3f3f3f3f=2122219134$ ，这个数虽然非常大但却没有超过 $int$ 的表示范围，因此 $0x3f3f3f3f$ 还满足了无穷大加无穷大还是无穷大的要求；

4. 例子

$$dp=\left[\begin{array}{cccc}0& 5& \infty & 7\\ \infty & 0& 4& 2\\ 3& 3& 0& 2\\ \infty & \infty & 1& 0\end{array}\right]$$

考虑结点 1 作为中间点，

$dp[2][3]=4<dp[2][1]+dp[1][3〕=\infty +\infty$ ，不更新；

$dp[2][4]=2<dp[2][1]+dp[1][4]=\infty +7$ ，不更新；

$dp[3][2]=3<dp[3][1]+dp[1][2]=3+5$ ，不更新；

$dp[3][4]=2<dp[3][1]+dp[1][4]=3+\infty$ ，不更新；

$dp[4][2]=\infty =dp[4][1]+dp[1][2]=\infty +5$ ，不更新；

$dp[4][3]=1<dp[4][1]+dp[1][3]=\infty +\infty$ ，不更新；

没有变化；

最终 $dp[i][j]$ 存储的就是从 $i$ 到 $j$ 的最短路径长度。

5. 代码

for (int k = 1; k <= n; k++) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
        }
    }
}

6. 求最短路径方案

思路

Floyd 算法在进行松弛操作时，若松弛操作成功，只能够确定 $i$ 到 $j$ 是经过 $k$ ，不能确定 $i$ 的下一个结点是谁，但可知 $i$ 到 $k$ 的最短路径中 $i$ 的下一个结点与 $i$ 到 $j$ 的最短路径中 $i$ 的下一个结点相同；

则使用 $path[i][j]$ 记录 $i$ 到 $j$ 最短路径中 $i$ 的直接后继编号，若松弛成功，则使得 path[i][j] = path[i][k] ，即 $i$ 到 $k$ 的最短路径中 $i$ 的直接后继成为了 $i$ 到 $j$ 最短路径中 $i$ 的直接后继；

若要求字典序最小的一组方案，则在松弛操作时两方案相等时相等时，若当前 path[i][j] > path[i][k] ，则令 path[i][j] = path[i][k] ;

则 $path$ 的初始化为，对于任意一边 $(x,y)$ ，有 path[x][y] = y ；

输出时，使用递归进行遍历，传入当前需输出的变量 $x$ ，输出后，继续递归输出 path[x][t] ，出口即为 path[x][t] == 0 时；

代码如下，

void floyd() {
	for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k][j]) {
                    dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j];
                    path[i][j] = path[i][k];
                } else if (dp[i][j] == dp[i][k] + dp[k][j] && path[i][j] > path[i][k]) { // 字典序最小
                    path[i][j] = path[i][k];
                }   
            }
        }
    }
}
void print(int x) {
	if (path[x][t] == 0) return;
	printf("%d ", x);
    print(path[x][t]);
}

7. 变形

如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为 dp[i][j]=true ，不相连的两点设为 dp[i]][j]=false ，用 Floyd 算法的变形；

void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] |= (dp[i][k] & dp[k][j]);
            }
        }
    }
    return;
}

用这个办法可以判断一张图中的两点是否相连。

三、Dijkstra算法

1. Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是单源最路径算法，即计算起点只有一个的情况到其他点的最短路径，其无法处理存在负边权的情况；

Dijkstra 算法基于一种贪心的思想，基本思想是设 $G=(V,E)$ 是一个带权有向图，把图中顶点集合 $V$ 分成两组：

1. 己求出最短路径 $d$ 的顶点集合，用 $S$ 表示，初始时 $S$ 中只有一个源点；
2. 其余未确定最短路径的顶点集合，用 $U$ 表示；

2. 过程

1. 初始时， $S$ 只包含源点 $V$ ， $V$ 到自己的距离为 0 ;

   $U$ 包含除 $V$ 外的其他顶点，源点到 $U$ 中顶点 $i$ 的距离为边上的权，若 $V$ 与 $i$ 有边连接，则距离就是边权，否则距离为 $\infty$ ；

2. 从 $U$ 中选取一个顶点 $u$ ，使得顶点 $V$ 到顶点 $u$ 的距离最小，然后把顶点 $u$ 加入 $S$ 中；

3. 以顶点 $u$ 为新考虑的中间点，对顶点 $V$ 到 $u$ 中各顶点进行松弛操作；

4. 重复步骤 2 和 3 直到 $S$ 包含所有的顶点；

3. 例子

以下图为例，以结点 1 作为源点，计算结点1到其他各结点的最短路径；

$dis$ 数组存放源点1到结点 $i$ 的距离；

$true$ 表示已确定的最短路径， $false$ 表示未确定的最短路径；

第1轮松弛操作

dis

①	②	③	④
0	5	$\infty$	7
true	false	false	false

在 $U$ 集合中选择与 $v$ (即结点1）距离最短的点结点2，将结点2加入到集合 $S$ 中，确定了结点1到结点2的最短路长度为5；

并以结点2作为中间点对源点 $v$ 到 $U$ 集合中的所有结点进行松弛操作；

$dis[3]=\infty <dis[2]+w[2][3]=5+4=9$，更新 $dis[3]=9$ ；

$dis[4]=7=dis[2]+w[2][4]=5+2=7$，不更新；

第2轮松弛操作

dis

①	②	③	④
0	5	9	7
true	true	false	false

在 $U$ 集合中选择与 $v$ (即结点1）距离最短的点结点4，将结点4加入到集合 $S$ 中，确定了结点1到结4点的最短路长度为7；

并以结点4作为中间点对源点 $v$ 到 $U$ 集合中的所有结点进行松弛操作：

$dis[3]=\infty <dis[4]+w[4][3]=7+1=8$，更新 $dis[3]=8$ ；

$dis[4]=7=dis[2]+w[2][4]=5+2=7$，不更新；

第3轮松弛操作

dis

①	②	③	④
0	5	8	7
true	true	false	true

在 $U$ 集合中选择与 $v$ (即结点1）距离最短的点结点3，将结点3加入到集合 $S$ 中，确定了结点1到结3点的最短路长度为8；

$U$ 集合为空, $Dijkstra$ 算法完成；

dis

①	②	③	④
0	5	8	7
true	true	true	true

4. 证明

Dijkstra 算法也是一种贪心算法。证明 Dijkstra 算法可以找到图中从源点 $v$ 到其他所有顶点的最短路径长度；

数学归纳法证明

1. 如果顶点 $i$ 在 $S$ 中，则 $dis[i]$ 给出了从源点到顶点 $i$ 的最短路径长度；
2. 如果顶点 $i$ 不在 $S$ 中，则 $dis[i]$ 给出了从源点到顶点$i$的最短特殊路径长度（不一定是最短路径），即该路径上的所有中间顶点都属于 $S$ ；

初始时 $S$ 中只有一个源点 $v$ ，到其他顶点的路径就是从源点到相应顶点的边，显然 1, 2 是成立的；

假设向 $S$ 中添加一个新顶点 $u$ 之前，条件 1, 2 都成立；

条件1的归纳步骤；

对于每个在添加之前己经存在于 $S$ 中的顶点 $u$ ，不会有任何变化，条件1依然成立；

在顶点 $u$ 加入到 $S$ 之前，由假设可知 $dis[u]$ 是源点到 $u$ 的最短路径长度，还要验证从源点 $v$ 到顶点 $u$ 的最短路径没有经过任何不在 $S$ 中的顶点；

假设存在这种情况，即沿着从源点 $v$ 到顶点 $u$ 的最短路径前进时，会遇到一个或多个不属于$S$ 的顶点不含顶点 $u$ 自己)，设 $x$ 是第一个这样的顶点，如下图所示；

从源点 $v$ 到 $x$ 是一条特殊路径，距离为 $dis[x]$ ；

假设 $x$ 到 $u$ 的距离为 $w[x][u]$ ，由于边权非负，即 $w[x][u]\ge 0$ ，推出经 $x$ 到 $u$ 的距离 $dis[x]+w[x][u]\ge dis[x]$ ；

因为算法在选择 $x$ 之前先选择了 $u$ ,因此 $dis[x]\ge dis[u]$ ，这样经过 $x$ 到 $u$ 的距离$dis[x]+w[x][u]\ge dis[x]\ge dis[u]$，至少是 $dis[u]$ ；

现在验证了当 $u$ 加到 $S$ 中时，$dis[u]$ 确定给出源点 $v$ 到顶点 $u$ 的最短路径长度，条件1是成立的；

条件2的归纳步骤；

考虑不属于 $S$ 且不同于 $u$ 的一个顶点 $w$ ，当 $u$ 加到 $S$ 中时，从源点 $v$ 到 $w$ 的最特殊路径有两种可能；

1. 不会变化；
2. 现在经过顶点 $u$（也可能经过 $S$ 中的其他顶点）；

对于第2种情况，设 $x$ 是到达 $w$ 之前经过 $S$ 的最后一个，因此这条路径的长度就是 $dist[x]+w[x][w]$ ;

对于任意 $S$ 中的顶点 $q$ （包括 $u$ ），要计算 $dist[w]$ 的值，就必须比较$dist[w]$ 原先的值和 $dist[q]+dist[q]+w[q][w]$ 的大小；

因为算法明确地进行这种比较以计算新的 $dist[w]$ 值，所以往 $S$ 中加入新顶点 $u$ 时，$dist[w]$ 为源点 $v$ 到顶点 $w$ 的最短特殊路径的长度，因此条件2也是成立的；

5. 代码

void dijkstra(int s) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        g[i][i] = 0, dis[i] = g[s][i];
    }
    vis[s] = true;//s为起点
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int minn = 2147483647, tot = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) { // 在没有确认最短路的结点集合中找一个顶点tot，使得dis[tot]最小
            if (vis[j] == false && dis[j] < minn) {
                minn = dis[j], tot = j;
            }
        }
        vis[tot] = true; // tot标记为已确定的最短路径
        for (int j = 1; j <= n; j++) { // 枚举与tot相连的每个未确定的最短路的顶点
            if (vis[j] == false && dis[tot] + g[tot][j] < dis[j]) {
                dis[j] = dis[tot] + g[tot][j]; // 更新最短路径
            }
        }
    }
    return;
}

6. 优化

思路

计算 $U$ 集合距离起点最小值时，可使用优先对列维护；

代码

void dijkstra(int s) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    priority_queue < edge > q; // 存储未确定最短路的结点集合
    q.push(edge({s, 0}));
    while (!q.empty()) {
        int t = q.top().to; // 取出距离源点最近的结点编号
        q.pop();
        if (vis[t]) continue; // 某一个结点可能在松弛操作时多次放入优先队列
        vis[t] = true;
        for (int i = 0; i < g[t].size(); i++) { // 遍历tot的直接后继且未确定最短路的特点，进行松弛操作
            int v = g[t][i].to, tot =  g[t][i].tot;
            if (dis[v] > dis[t] + tot) { // 如果某结点已经确定最短路，则不会被更新
                dis[v] = dis[t] + tot;
                q.push(edge({v, dis[v]}));
            }
        }
    }
    return;
}

7. 输出方案

则在每一次松弛操作成功时，记录可使此节点松弛操作成功的节点，最后递归输出；

void dijkstra(int s) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    priority_queue < edge > q; // 存储未确定最短路的结点集合
    q.push(edge({s, 0}));
    while (!q.empty()) {
        int t = q.top().to; // 取出距离源点最近的结点编号
        q.pop();
        if (vis[t]) continue; // 某一个结点可能在松弛操作时多次放入优先队列
        vis[t] = true;
        for (int i = 0; i < g[t].size(); i++) { // 遍历tot的直接后继且未确定最短路的特点，进行松弛操作
            int v = g[t][i].to, tot = g[t][i].tot;
            if (dis[v] > dis[t] + tot) { // 如果某结点已经确定最短路，则不会被更新
                dis[v] = dis[t] + tot;
                pre[v] = t;
                q.push(edge({v, dis[v]}));
            } else if (dis[v] == dis[t] + tot && t < pre[v]) { // 字典序最小
                pre[v] = t;
            }
        }
    }
    return;
}

8. 次短路

问题

对于一张有向图，求 $s$ 到 $t$ 的严格次短路；

分析

则维护 Dijkstra 的优先队列时，分别维护最短与次短路，当最短路成功进行松弛操作时，次短路的值即为原最短路的值，当最短路松弛操作未成功时但次短路松弛操作成功时，则只更新次短路即可；

代码

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 5005
using namespace std;
int n, m, dis[MAXN][5];
bool vis[MAXN][5];
struct edge {
    int to, tot;
};
vector <edge> g[MAXN];
struct node {
    int to, tot, p;
    bool operator < (const node a) const {
        return tot > a.tot;
    }
};
void dijkstra(int s) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[s][1] = 0;
    priority_queue <node> q;
    q.push(node({s, 0, 1}));
    while (!q.empty()) {
        node t = q.top();
        q.pop();
        if (vis[t.to][t.p]) continue;
        vis[t.to][t.p] = true;
        for (int i = 0; i < g[t.to].size(); i++) {
            int v = g[t.to][i].to, tot = g[t.to][i].tot;
            if (dis[v][1] > dis[t.to][t.p] + tot) {
                dis[v][2] = dis[v][1];
                dis[v][1] = dis[t.to][t.p] + tot;
                q.push(node({v, dis[v][1], 1}));
                q.push(node({v, dis[v][2], 2}));
            } else if (dis[v][1] < dis[t.to][t.p] + tot && dis[v][2] > dis[t.to][t.p] + tot) {
                dis[v][2] = dis[t.to][t.p] + tot;
                q.push(node({v, dis[v][2], 2}));
            }
        }
    }
    return;
}
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y, z;
        scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
        g[x].push_back(edge({y, z}));
        g[y].push_back(edge({x, z}));
    }
    dijkstra(1);
    printf("%d\n", dis[n][2]);
    return 0;
}

四、Bellman-Ford 算法

1. Bellman-Ford 算法

Bellman-Ford 算法适用于计算单源最短路径，其最大特点是可以处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况；

时间复杂度，$O(V\ast E)$ ，其中， $V$ 是顶点数，$E$ 是边数；

2. 过程

对从源点到达每个结点的最短路径，每一轮都使用图中所有的边对其进行松弛操作，一共要进行 $V-1$ 轮松弛操作，其中 $V$ 为顶点数；

使用 $dis[i]$ 表示源点到结点 $i$ 的最短路径, 进行第 $k$ 轮松弛操作后的距离计作 $di{s}_k[i]$ ；

在进行第 $k$ 轮松弛操作前，源点 $v$ 到达结点 $u$ 的距离为 $di{s}_{k-1}[u]$ .在进行第 $k$ 轮松弛操作时，$u$ 的所有直接前驱与 $u$ 连接的边才有可能对 $v$ 到 $u$ 的最短路径产生影响；

如下图所示；

则第 $k$ 轮松弛操作后，$di{s}_k[u]$ 应为四条路径中的最小值，即，

$$di{s}_k[u]=\min \{\begin{array}{l}di{s}_{k-1}[u]\\ di{s}_{k-1}[i]+w[i][u]\\ di{s}_{k-1}[j]+w[j][u]\\ di{s}_{k-1}[k]+w[k][u]\end{array}$$

即在每一轮松弛操作时，对每一条边所到达的结点 $i$ ( $i$ 为 $u$ 的直接前驱）都要进行松弛操作；

disk[u]=min⁡{disk−1[u],min⁡1≤i≤n,i≠u{disk−1[i]+w[i][u]}} dis_k[u] = \min \{ dis_{k - 1}[u], \min_{1 \leq i \leq n, i \neq u}\{dis_{k - 1}[i] + w[i][u]\}\} disk​[u]=min{disk−1​[u],1≤i≤n,i=umin​{disk−1​[i]+w[i][u]}}

3. 例子

如下图，以结点1作为起点演示 Bellman-Ford 算法;

dis数组初始值

0	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$

第一轮松弛操作

考虑结点 2, 3, 4 的前驱结点；

$di{s}_1[2]=\infty >di{s}_0[1]+w[1][2]=0+4=4$ , 更新 $di{s}_1[2]=4$ ;
$di{s}_1[3]=\infty >di{s}_0[1]+w[1][3]=0+(-6)=-6$ , 更新 $di{s}_1[3]=-6$ ;
$di{s}_1[4]=\infty >di{s}_0[1]+w[1][4]=0+6=6$ , 更新 $di{s}_1[4]=6$ ;

dis数组

0	4	-6	6	$\infty$	$\infty$	$\infty$

考虑结点 5 的前驱结点；

$di{s}_1[5]=\infty >di{s}_0[2]+w[2][5]=4+7=11$ , 更新 $di{s}_1[5]=11$ ;
$di{s}_1[5]=11>di{s}_0[3]+w[3][5]=-6+6=0$ , 更新 $di{s}_1[5]=0$ ;
$di{s}_1[5]=0<di{s}_0[6]+w[6][5]=\infty +1=\infty$ , 不更新;

dis数组

0	4	-6	6	0	$\infty$	$\infty$

考虑结点6的前驱结点；

$di{s}_1[6]=\infty >di{s}_0[3]+w[3][6]=-6+4=-2$ , 更新$di{s}_1[6]=-2$ ；
$di{s}_1[6]=-2<di{s}_0[4]+w[4][6]=6+5=11$ , 不更新 ;

dis数组

0	4	-6	6	0	-2	$\infty$

考虑结点7的前驱结点；

$di{s}_1[7]=\infty >di{s}_0[5]+w[5][7]=0+6=6$,更新$di{s}_1[7]=6$;
$di{s}_1[7]=6>di{s}_0[6]+w[6][7]=-2+(-8)=-10$,更新$di{s}_1[7]=-10$;

dis数组：

0	4	-6	6	0	-2	-10

第一轮松弛操作结束

dis数组操作如下

	$di{s}_k[1]$	$di{s}_k[2]$	$di{s}_k[3]$	$di{s}_k[4]$	$di{s}_k[5]$	$di{s}_k[6]$	$di{s}_k[7]$
第一轮	0	4	-6	6	0	-2	-10
第二轮	0	4	-6	6	-1	-2	-10
第三轮	0	4	-6	6	-1	-2	-10
第四轮	0	4	-6	6	-1	-2	-10
第五轮	0	4	-6	6	-1	-2	-10
第六轮	0	4	-6	6	-1	-2	-10

4. 解释

通过例子发现，从第二轮松弛操作之后，后面的最短路径值都没有发生过改变， Bellman-Ford 算法可以在这里进行优化。若某一轮松弛操作没有任何值发生变化，则算法可以直接结束；

每次松弛操作实际上是对相邻结点的访问，第 $k$ 轮松弛操作保证了所有经过 $k$ 条边的最短路径最短；

由于图的最短路径最长不会经过超过 $V-1$ 条边，所以可知 Bellman-Ford 算法所得为最短路径。

5. 判断负环

在执行完 $V-1$ 轮松弛操作之后，若发现还能够成功松弛操作，则说明图中存在负环；否则不存在负回路；

图为负环，需进行2轮松弛操作；

第一轮松弛操作

$di{s}_1[2]=di{s}_0[1]+w[1][2]=0+1=1$ ;
$di{s}_1[3]=di{s}_0[2]+w[2][3]=1+(-4)=-3$ ;
$di{s}_1[l]=di{s}_0[3]+w[3][1]=-3+2=-1$ ;

第二轮松弛操作

$di{s}_2[2]=di{s}_1[1]+w[1][2]=-1+1=0$ ;
$di{s}_2[3]=di{s}_1[2]+w[2][3]=-3$ ;
$di{s}_2[1]=di{s}_1[3]+w[3][1]=-3+(-4)=-7$ ;

若第三轮松弛操作仍能成功，则说明存在负环；

如果存在从源点可达的负权值回路（负回路），则最短路径不存在，因为可以重复走这个回路，使得路径无穷小。

6. 代码

bool Bellman_Ford (int s) { // s为起点
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // n个顶点
        for (int j = 1; j <= m; j++) { // m条边
            dis[g[j].to] = min(dis[g[j].to], dis[g[j].from] + g[j].tot);
        }
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        if (dis[g[j].to] > dis[g[j].from] + g[j].tot) {
            return false; // 有负环
        }
    }
    return true; // 没有负环
}

五、SPFA 算法

1. SPFA 算法

SPFA 算法也是一个求单源最短路径的算法，全称是 Shortest Path Faster Algorithm(SPFA) ，是由西南交通大学段凡丁老师1994年发明的；

当给定的图存在负权边时，Dijkstra 算法不再适合，而 Bellman-Ford 算法的时间复杂度又过高，此时可以采用 SPFA 算法；

但 SPFA 算法仍然不适合含负权回路的图；

2. 过程

初始时将起点加入队列；

每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队，直到队列为空时算法结束；

这个算法，简单的说就是队列优化的 Bellman-Ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法；

SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是 SPFA 中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去；

对于负环时，则负环上的节点会一直进行松弛操作，即一直进队，则判断当有节点 $n$ 次进入队时，则有负环；

3. 代码

bool SPFA(int s) {
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[s] = 0;
	queue <int> q;
	q.push(s); // 将起点入队
	while (!q.empty()) {
		int t = q.front();
		q.pop();
		vis[t] = false; // 出队首元素，并且将元素标记为出队
		for (int i = 0; i < g[t].size(); i++) { // 遍历结点u的所有后继结点，进行松弛操作
			int v = g[t][i].to, tot = g[t][i].tot;
			if (dis[v] > dis[t] + tot) {
				dis[v] = dis[t] + tot;
				if (!vis[v]) { // 若之前以入队，则不需要重复入队
					vis[v] = true;
					tot1[v]++; // 入队次数 = n, 有负环
					if (tot1[v] == n) return false;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return true;
}

4. 第K短路

题目

给定一张N个点（编号1,2…N），M条边的有向图，求从起点S到终点T的第K短路的长度，路径允许重复经过点或边；

分析

求K短路可用类似 $SPFA$ 算法的方法，即当第K次搜索到终点时，就为第K短路；

由于题目给出了起点与终点，可考虑用A*算法优化；

估价函数,

根据估价函数的设计准则，当前点 $x$ 到 $e$ 点的估计距离应不大于 $x$ 到 $e$ 点的实际距离，则把估价函数定为从 $x$ 到 $e$ 的最短路长度；

则程序思路如下

1. 输入时，正反向建两个图，用反向建的图处理结点 $x$ 到终点 $e$ 点的最短路；

2. 从起点开始A*搜索扩展状态，当第K次搜索到 $e$ 结点时，就得到路径长；

当起点为终点时，会把起点算作一次，所以次数+1；

代码

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n, m, s, e, k;
struct edge {
	int to, tot;
};
vector < edge > g1[MAXN], g2[MAXN];
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
void SPFA (int s) {
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    dis[s] = 0;
    queue < int > q;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int tot = q.front();
        q.pop();
        vis[tot] = false;
        for (int i = 0; i < g2[tot].size(); i++) {
            int v = g2[tot][i].to, z = g2[tot][i].tot;
            if (dis[v] > dis[tot] + z) {
                dis[v] = dis[tot] + z;
                if (!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
struct node {
	int to, z, tot;
	bool operator < (const node t) const {
		return t.tot < tot;
	}
};
int a_star(int s, int e, int k) {
	if (dis[s] == INF) return -1;
	if (s == e) k++;
	int tot = 0;
	priority_queue < node > q;
	node t;
	q.push( node ( { s, 0, 0 + vis[s] } ) );
	while (!q.empty()) {
		t = q.top();
		q.pop();
		if (t.to == e) tot++;
		if (tot == k) return t.z;
		for (int i = 0; i < g1[t.to].size(); i++) {
			q.push( node ( { g1[t.to][i].to, t.z + g1[t.to][i].tot, t.z + g1[t.to][i].tot + dis[g1[t.to][i].to] } ) );
		}
	}
	return -1;
}
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int a, b, l;
		scanf("%d %d %d", &a, &b, &l);
		g1[a].push_back( edge ( { b, l } ) );
		g2[b].push_back( edge ( { a, l } ) );
	}
	scanf("%d %d %d", &s, &e, &k);
	SPFA(e);
	printf("%d", a_star(s, e, k));
	return 0;
}

六、比较

算法	用途	时间复杂度	特点
Dijkstra	单源最短路径	$O(n^2)$	不适合负权及负权回路
SPFA	单源最短路径	$O(e)$	不适合负权回路
Bellman-Ford	单源最短路径	$O(ne)$	不适合负权回路
Floyd	多源最短路径	$O(n^3)$	不适合负权回路