本文探讨了数值分析中的插值与逼近技术。详细阐述了多项式插值，包括Lagrange、Newton和Hermite插值方法，强调了误差估计和选择节点的重要性。同时介绍了分段多项式插值，如分段线性、三次插值及三次样条插值。此外，还涉及连续和离散函数的最佳平方逼近问题。
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线性和非线性方程数值解法_数值分析计算方法
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1 插值
1.1 多项式插值
1.1.1 Lagrange插值
插值误差的事后估计：用两个结果的差来估计插值误差
使用注意
当插值点x位于插值区间的节点附近时，插值误差较小，而距离节点较远处插值误差较大
采用较小的区间可以得到更好的估计值
1.1.2 Newton插值
误差估计
新增一个原始数据点，
N
n
+
1
(
x
)
=
N
n
(
x
)
+
f
[
x
0
,
.
.
.
,
x
n
,
a
]
(
x
−
x
0
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
N_{n+1}(x) = N_n(x) + f[x_0, ..., x_n, a](x-x_0)...(x-x_n)
Nn+1(x)=Nn(x)+f[x0,...,xn,a](x−x0)...(x−xn)，
R
n
(
x
)
=
N
n
+
1
(
x
)
−
N
n
(
x
)
R_n(x) = N_{n+1}(x) - N_n(x)
Rn(x)=Nn+1(x)−Nn(x)
使用注意
为了提高精度，可以继续增加节点
应尽可能集中或靠近未知点的原始数据点
n+1阶和n阶估计值之差小于真实误差，因此采用两次迭代结果之差无法 作为迭代的停止准则。实际上，高次多项式插值往往会发散
1.1.3 Hermite插值
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