算法沉淀 —— 动态规划（子序列问题（上））

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为以下两种，其中更是第一种为主。

  • 以i为结尾，dp[i] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dp[i]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程

  • 以上述的dp[i]意义为根据， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、最长递增子序列

【题目链接】：300. 最长递增子序列
【题目】：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组[0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

【示例】：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

【分析】：
 我们可以定义dp[i]表示以i位置为结尾的最长递增子序列。由于每一个数字均可单独构成一个递增子序列，所以我们在创建dp表时，可以将dp表中的值全部初始化为1.

状态转移方程推导:

 如果dp[i]所表示的递增子序列大于1，此时在i之前一定存在某些元素和nums[i]构成递增子序列。而这些元素我们可以用dp[j[表示（0 <= j <i）,并且nums[j] < nums[i]。
 但j到底在什么位置呢？我们无从而知，需要依次遍历i前的数据。来查找符合要求的最大dp[j]。所以状态转移方程为：

for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
{
   
     if(nums[i] > nums[j])
         dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
 }

【其他】：
 最后只需将dp[i]的最终值累加即可！！

【代码编写】：

class Solution {
   
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
   
        int n = nums.size();
        int ret = 1;
        vector<int> dp(n, 1);
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
   
            for(int j = i - 1; j >= 0; j--)
            {
   
                if(nums[i] > nums[j])
                    dp[i] = max