算法沉淀——动态规划篇（子数组系列问题（下））

前言

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

• 1.、状态表示：通常状态表示分为以下两种，其中更是第一种为主。

  • 以i为结尾，dp[i] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
  • 以i为开始，dp[i]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）

• 2、状态转移方程

  • 以上述的dp[i]意义为根据， 通过最近一步来分析和划分问题，由此来得到一个有关dp[i]的状态转移方程。

• 3、dp表创建，初始化

  • 动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着越界访问等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系。
  • 而初始化一般分为以下两种：
    • 直接初始化开头的几个值。
    • 一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列。

• 4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。

• 5、确定返回值

一、等差数列划分

【题目】：413. 等差数列划分
【题目】：

 如果一个数列 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。例如，[1,3,5,7,9]、[7,7,7,7] 和 [3,-1,-5,-9] 都是等差数列。
 给你一个整数数组 nums ，返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组 个数。(子数组 是数组中的一个连续序列)

【示例】：

输入：nums = [1,2,3,4]
输出：3
解释：nums 中有三个子等差数组：[1, 2, 3]、[2, 3, 4] 和 [1,2,3,4] 自身。

【分析】：
 我们可以定义dp[i]表示以i为结尾，等差数组的子数组个数。之后我们可以通过判断（nums[i]、nums[i-1]、nums[i-2]）是否构成等差数列，来进一步分析

状态转移方程推导：

1. 如果nums[i]、nums[i-1]、nums[i-2]不构成等差数列，显然此时以i为结尾的等差数组的子数组个数为0。即dp[i] = 0;
2. 如果构成等差数列，此时dp[i]的值至少为1。此时我们还需加上dp[i-1]的值。原因在于如果以i-1为结尾的等差数列存在，此时该等差数列公差为dp[i-1] -dp[i-2]。同时nums[i]、nums[i-1]、nums[i-2]构成等差数列，公差也为dp[i-1] -dp[i-2]。这也意味着，以i-1为结尾的所有等差数列，在添加新增nums[i]元素后，依然是等差数列。所以状态转移方程为dp[i] = dp[i - 1] + 1;

细节处理：
 显然当i为1、2时，状态转移方程不适用。我们由于dp[0]、dp[1]一定构不成等差数列，所以我们可以先将dp[0]、dp[1]先初始化为0，在从下标2开始，从左往右填表。

【代码编写】：

class Solution {
   
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
   
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n);
        int ret = 0;
        for(int i = 2; i < n; i++)
        {
   
            if(nums[i] - nums[i - 1] == nums[i - 1] - nums[i - 2])
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            ret +=