HDU 2050 折线分割平面(动态规划(DP) 递推)

作者：新浪博客博主panda

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原题

折线分割平面

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Problem Description

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
7

涉及知识及算法

先看N条相交的直线最多能把平面分割成多少块

当要添加第N条直线，为了使平面最多， 则第N条直线要与前面的N-1条直线都相交，且交点不可重合。

1，当N=1时，有2个平面。
2，第N(N>1)条直线加入时，会产生N-1个交点。每增加N-1个交点，就会增加N个平面，所以用N条直线来分隔平面，最多的数是2+2+3+…+n=1+n*(n+1)/2;

再看每次增加两条相互平行的直线

1，当N=1时，有3个平面。
2，当第N(N>1)对直线加入时，会产生2(N-1)个交点，所以两条直线都各能增加2*(N-1)+1 个平面，所以第N次添加增加的面数是2[2(n-1) + 1] = 4n - 2 个。因此，总面数应该是
3+6+…+4n-2=1 + 4n(n+1)/2 - 2n = 2n^2 + 1

把每次加进来的平行边让它们一头相交

则平面1、3已经合为一个面，因此，每一组平行线相交后，就会少一个面，所以第N次添加增加的面数是 4n - 3 个。

即f(n)=f(n-1)+4n-3，可利用这个递推式子求解。也可进一步简化，所求即为平行线分割平面数减去N。

可得公式f(n)=2n^2 -n + 1

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",2*n*n-n+1);
    }
    return 0;
}